Sucesiones convergentes

Una sucesión converge cuando sus términos se van acercando a un número fijo a medida que $n$ crece, y se quedan ahí. Ese número es el límite de la sucesión.

Acercarse no significa llegar. La sucesión $a_{n} = \frac{1}{n}$ tiende a cero pero ningún término vale cero: siempre falta un poquito. Lo que importa es que la distancia al límite se hace tan chica como uno quiera con tal de avanzar lo suficiente en la lista.

Cuando la sucesión no se acerca a ningún número, se dice que diverge. Hay dos formas de divergir. Una es irse al infinito, como $a_{n} = n^{2}$ , que crece sin freno. La otra es oscilar sin decidirse, como $a_{n} = (-1)^{n}$ , que salta entre $-1$ y $1$ para siempre sin quedarse en ninguno.

Para calcular el límite de una sucesión se usan las mismas herramientas que para el límite de una función en el infinito, porque es el mismo problema mirado sobre los naturales en vez de sobre todos los reales.

\lim_{n \to \infty} a_{n} = L

Cuándo se usa

Cuando hay que calcular el límite de una sucesión o decidir si converge. Se resuelve con las mismas técnicas que los límites en el infinito: comparar grados, dividir por la potencia más alta, o acotar entre dos sucesiones que tiendan a lo mismo.

Ejemplo 1

Calcular $\lim_{n \to \infty} \frac{3n^{2} + 1}{n^{2} - 5}$ .

Miramos los grados. Arriba y abajo el grado es $2$ , así que hay indeterminación de infinito sobre infinito.
Dividimos todo por $n^{2}$ , que es la potencia más alta. Queda $\frac{3 + 1/n^{2}}{1 - 5/n^{2}}$ .
Cada término con $n$ en el denominador tiende a cero. Arriba queda $3$ y abajo $1$ .
Respuesta: $3$

Ejemplo 2

Decidir si $a_{n} = \frac{(-1)^{n}}{n}$ converge.

Separamos las dos partes. El signo alterna pero el denominador crece.
Acotamos el valor absoluto. Se cumple que $\left| \frac{(-1)^{n}}{n} \right| = \frac{1}{n}$ , que tiende a cero.
Si el valor absoluto tiende a cero, la sucesión también. La oscilación no molesta porque la amplitud se achica.
Respuesta: converge a $0$

Error típico

Creer que si los términos crecen la sucesión diverge. $a_{n} = \frac{n}{n+1}$ crece todo el tiempo y sin embargo converge a $1$ , porque crece cada vez menos.

Practicar

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