Sucesiones monótonas y acotadas

Una sucesión es creciente si cada término es mayor o igual que el anterior, y decreciente si cada uno es menor o igual. En cualquiera de los dos casos se dice que es monótona: va siempre para el mismo lado, sin ir y volver.

Una sucesión está acotada superiormente si existe un número que ninguno de sus términos supera, y acotada inferiormente si hay uno que ninguno perfora hacia abajo. Cuando pasan las dos cosas, la sucesión está acotada: vive dentro de una franja.

Estas dos propiedades juntas dan un resultado muy útil. Si una sucesión es creciente y está acotada superiormente, entonces converge. La intuición es directa: si sube siempre pero tiene un techo, no le queda otra que amontonarse contra algún valor. Lo mismo vale para una decreciente con piso.

Lo interesante del teorema es que asegura que el límite existe sin decir cuánto vale. Sirve para demostrar convergencia cuando calcular el límite directamente sería complicado o imposible.

Para probar que una sucesión es creciente se estudia el signo de $a_{n+1} - a_{n}$ , o se compara el cociente $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$ con $1$ cuando todos los términos son positivos.

\text{creciente} + \text{acotada superiormente} \Rightarrow \text{converge}

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide probar que una sucesión converge sin pedir el límite, sobre todo si está definida por recurrencia. Estudiá el signo de la diferencia entre términos consecutivos, o compará su cociente con uno si todos son positivos.

Ejemplo 1

Mostrar que $a_{n} = \frac{n}{n+1}$ es creciente y acotada.

Calculamos la diferencia entre términos consecutivos. $a_{n+1} - a_{n} = \frac{n+1}{n+2} - \frac{n}{n+1}$ .
Sacamos denominador común. El numerador queda $(n+1)^{2} - n(n+2) = n^{2} + 2n + 1 - n^{2} - 2n = 1$ .
Leemos el signo. La diferencia es $\frac{1}{(n+2)(n+1)}$ , positiva siempre, así que la sucesión crece.
Buscamos el techo. Como $n < n+1$ , el cociente es siempre menor que $1$ .
Respuesta: es creciente y acotada por $1$ , así que converge

Ejemplo 2

Decidir si $a_{n} = \frac{2^{n}}{n!}$ es decreciente a partir de algún término.

Armamos el cociente entre términos consecutivos. $\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{2^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{2^{n}}$ .
Simplificamos. Las potencias dejan un $2$ y los factoriales dejan $\frac{1}{n+1}$ , así que el cociente es $\frac{2}{n+1}$ .
Vemos cuándo ese cociente es menor que $1$ . Pasa si $n + 1 > 2$ , o sea desde $n = 2$ en adelante.
Respuesta: decrece a partir de $n = 2$

Error típico

Pensar que toda sucesión acotada converge. La sucesión $(-1)^{n}$ está acotada entre $-1$ y $1$ y no converge: le falta ser monótona.

Practicar

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