El resto de Lagrange

El polinomio de Taylor aproxima, y toda aproximación tiene error. El resto es exactamente eso: la diferencia entre el valor real de la función y el que da el polinomio.

La fórmula de Lagrange le da forma a ese resto. Se parece al término siguiente del polinomio, pero con la derivada evaluada en un punto desconocido $c$ que está entre el centro y el valor donde se aproxima.

Ese punto no se puede calcular, y no hace falta. La fórmula no sirve para conocer el error exacto sino para acotarlo: como $c$ está en un intervalo conocido, se busca el valor más grande que puede tomar la derivada ahí y con eso se obtiene una cota.

El resto tiene dos cosas que lo achican. Una es el factorial del denominador, que crece muy rápido con el orden. La otra es la potencia de la distancia al centro: si esa distancia es menor que uno, elevarla la achica todavía más.

De ahí salen las dos formas de mejorar una aproximación: subir el orden del polinomio o acercar el centro al punto que se quiere aproximar.

R_{n}(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide acotar el error de una aproximación. Escribí el resto del orden siguiente y acotá la derivada en el intervalo, quedándote con el peor caso. No intentes calcular el punto intermedio: no se puede y no hace falta.

Ejemplo 1

Acotar el error de aproximar $e^{0{,}1}$ con el polinomio de orden $2$ centrado en $0$ .

Escribimos el resto. Con $n = 2$ es $\frac{f'''(c)}{3!}(0{,}1)^{3}$ .
Identificamos la derivada tercera. Para la exponencial es $e^{c}$ .
Acotamos en el intervalo. Como $c$ está entre $0$ y $0{,}1$ , se cumple que $e^{c} < e^{0{,}1} < 1{,}2$ .
Reemplazamos. El error es menor que $\frac{1{,}2 \cdot 0{,}001}{6} = 0{,}0002$ .
Respuesta: el error es menor que $0{,}0002$

Ejemplo 2

Acotar el error de aproximar $\operatorname{sen}(0{,}2)$ con el polinomio de orden $3$ centrado en $0$ .

Escribimos el resto. Con $n = 3$ es $\frac{f^{(4)}(c)}{4!}(0{,}2)^{4}$ .
Acotamos la derivada cuarta. Todas las derivadas del seno son senos o cosenos, así que su valor absoluto nunca supera $1$ .
Reemplazamos con esa cota. El error es menor que $\frac{(0{,}2)^{4}}{24} = \frac{0{,}0016}{24}$ .
Calculamos.
Respuesta: el error es menor que $0{,}00007$

Error típico

Intentar despejar el valor de $c$ . Lo que se hace es acotar la derivada en todo el intervalo y quedarse con el peor caso.

Practicar

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