Taylor de las funciones conocidas

Hay cinco desarrollos centrados en cero que conviene tener memorizados, porque aparecen todo el tiempo y porque a partir de ellos se obtienen muchos otros sin derivar nada.

El de la exponencial tiene todos los términos con coeficiente uno sobre el factorial. El del seno tiene solo potencias impares con signos alternados, y el del coseno solo potencias pares, también alternando. El del logaritmo de uno más $x$ tiene todas las potencias divididas por su exponente. Y la serie geométrica da el desarrollo de uno sobre uno menos $x$ .

La ventaja de conocerlos es que se pueden combinar. Para obtener el desarrollo de $e^{2x}$ no hace falta derivar: alcanza con reemplazar $x$ por $2x$ en el de la exponencial. Para el de $x \operatorname{sen} x$ se multiplica el del seno por $x$ .

También se pueden derivar e integrar término a término, y eso da desarrollos nuevos a partir de los conocidos.

La paridad de la función se refleja en el desarrollo: las funciones pares como el coseno solo tienen potencias pares, y las impares como el seno solo impares. Si te aparece un término que rompe ese patrón, hay un error en la cuenta.

e^{x} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!}, \quad \frac{1}{1-x} = \sum_{k=0}^{\infty} x^{k}

Cuándo se usa

Antes de ponerte a derivar, fijate si la función es una conocida con algo sustituido. Reemplazar en un desarrollo que ya sabés, o multiplicarlo por una potencia, evita todo el trabajo de calcular derivadas.

Ejemplo 1

Hallar el desarrollo de $e^{2x}$ hasta orden $3$ , centrado en $0$ .

Partimos del desarrollo conocido de la exponencial.
Reemplazamos $x$ por $2x$ en cada término.
El término lineal queda $2x$ , el cuadrático $\frac{(2x)^{2}}{2} = 2x^{2}$ y el cúbico $\frac{(2x)^{3}}{6} = \frac{4x^{3}}{3}$ .
Respuesta: $1 + 2x + 2x^{2} + \frac{4x^{3}}{3}$

Ejemplo 2

Hallar el desarrollo de $x \cos x$ hasta orden $3$ , centrado en $0$ .

Partimos del desarrollo del coseno hasta orden $2$ : $1 - \frac{x^{2}}{2}$ .
Multiplicamos todo por $x$ . Cada exponente sube en uno.
Queda $x - \frac{x^{3}}{2}$ .
Verificamos la paridad. La función es impar y quedaron solo potencias impares, como corresponde.
Respuesta: $x - \frac{x^{3}}{2}$

Error típico

Obtener potencias pares en el desarrollo del seno. Como el seno es impar, su desarrollo solo puede tener potencias impares.

Practicar

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Otros subtemas de Sucesiones, series y Taylor

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