Ejercicios: Taylor de las funciones conocidas

2. Indicamos su alcance. Converge para todo $x$ real: el radio de convergencia es infinito.

3. Escribimos el de la fracción. $\dfrac{1}{1 - x} = 1 + x + x^{2} + x^{3} + \ldots$, que es la serie geométrica de razón $x$.

4. Indicamos su alcance. Converge solo si $|x| < 1$: fuera de ahí la igualdad es falsa, aunque la fracción exista.

Respuesta: $e^{x}$ vale para todo $x$ y $\dfrac{1}{1 - x}$ solo para $|x| < 1$

2. Sustituimos. Reemplazamos $u$ por $4x^{2}$ en todos lados.

3. Escribimos los primeros términos. $1 + 4x^{2} + \dfrac{16x^{4}}{2} + \dfrac{64x^{6}}{6} + \ldots$

4. Justificamos el atajo. Derivar $4x^{2}$ elevado seis veces sería larguísimo. La sustitución en un desarrollo conocido da el mismo resultado, y vale para todo $x$.

Respuesta: $e^{4x^{2}} = 1 + 4x^{2} + \dfrac{16x^{4}}{2} + \ldots$

2. Sustituimos. Con $u = 2x$ queda $1 + 2x + 4x^{2} + 8x^{3} + \ldots$

3. Trasladamos la condición. La restricción $|u| < 1$ pasa a ser $|2x| < 1$, o sea $|x| < \dfrac{1}{2}$.

4. Interpretamos. El intervalo de convergencia se achicó por el factor de adentro: la sustitución cambia el desarrollo y también su alcance.

Respuesta: $1 + 2x + 4x^{2} + \ldots$, válido para $|x| < \dfrac{1}{2}$

2. Derivamos los dos lados. A la izquierda queda $\dfrac{1}{(1 - x)^{2}}$ y a la derecha se deriva término a término.

3. Escribimos el resultado. $\dfrac{1}{(1 - x)^{2}} = 1 + 2x + 3x^{2} + 4x^{3} + \ldots$

4. Identificamos el término pedido. El coeficiente de $x^{5}$ es $6$, así que el término es $6x^{5}$. Derivar o integrar un desarrollo conocido es otra forma de conseguir uno nuevo sin calcular derivadas de la función original.

Respuesta: $\sum_{k = 0}^{\infty} (k+1)x^{k}$, y el término de grado $5$ es $6x^{5}$

2. Escribimos hasta el orden pedido. Los términos llegan hasta $\dfrac{x^{4}}{4}$, con el signo que corresponda.

3. Notamos la diferencia con la exponencial. Acá los denominadores son $k$ y no $k!$, así que los términos se achican mucho más despacio.

4. Indicamos el alcance. Vale para $-1 < x \leq 1$, un intervalo mucho más chico que el de la exponencial.

Respuesta: $\ln(1 + x) = x - \dfrac{x^{2}}{2} + \dfrac{x^{3}}{3} - \ldots$, válido para $-1 < x \leq 1$

2. Sustituimos. Reemplazamos $u$ por $5x^{2}$ en todos lados.

3. Escribimos los primeros términos. $1 + 5x^{2} + \dfrac{25x^{4}}{2} + \dfrac{125x^{6}}{6} + \ldots$

4. Justificamos el atajo. Derivar $5x^{2}$ elevado seis veces sería larguísimo. La sustitución en un desarrollo conocido da el mismo resultado, y vale para todo $x$.

Respuesta: $e^{5x^{2}} = 1 + 5x^{2} + \dfrac{25x^{4}}{2} + \ldots$

2. Sustituimos. Con $u = 4x$ queda $1 + 4x + 16x^{2} + 64x^{3} + \ldots$

3. Trasladamos la condición. La restricción $|u| < 1$ pasa a ser $|4x| < 1$, o sea $|x| < \dfrac{1}{4}$.

4. Interpretamos. El intervalo de convergencia se achicó por el factor de adentro: la sustitución cambia el desarrollo y también su alcance.

Respuesta: $1 + 4x + 16x^{2} + \ldots$, válido para $|x| < \dfrac{1}{4}$

2. Derivamos los dos lados. A la izquierda queda $\dfrac{1}{(1 - x)^{2}}$ y a la derecha se deriva término a término.

3. Escribimos el resultado. $\dfrac{1}{(1 - x)^{2}} = 1 + 2x + 3x^{2} + 4x^{3} + \ldots$

4. Identificamos el término pedido. El coeficiente de $x^{6}$ es $7$, así que el término es $7x^{6}$. Derivar o integrar un desarrollo conocido es otra forma de conseguir uno nuevo sin calcular derivadas de la función original.

Respuesta: $\sum_{k = 0}^{\infty} (k+1)x^{k}$, y el término de grado $6$ es $7x^{6}$

2. Escribimos el del coseno. $\cos x = 1 - \dfrac{x^{2}}{2!} + \dfrac{x^{4}}{4!} - \ldots$

3. Explicamos las potencias. El seno tiene solo potencias impares y el coseno solo pares, en los dos casos con signos alternados.

4. Relacionamos con la paridad. Coincide con que el seno sea impar y el coseno par: la serie hereda la simetría de la función.

Respuesta: el seno tiene potencias impares y el coseno pares, con signos alternados

2. Sustituimos. Reemplazamos $u$ por $7x^{2}$ en todos lados.

3. Escribimos los primeros términos. $1 + 7x^{2} + \dfrac{49x^{4}}{2} + \dfrac{343x^{6}}{6} + \ldots$

4. Justificamos el atajo. Derivar $7x^{2}$ elevado seis veces sería larguísimo. La sustitución en un desarrollo conocido da el mismo resultado, y vale para todo $x$.

Respuesta: $e^{7x^{2}} = 1 + 7x^{2} + \dfrac{49x^{4}}{2} + \ldots$

2. Sustituimos. Con $u = 6x$ queda $1 + 6x + 36x^{2} + 216x^{3} + \ldots$

3. Trasladamos la condición. La restricción $|u| < 1$ pasa a ser $|6x| < 1$, o sea $|x| < \dfrac{1}{6}$.

4. Interpretamos. El intervalo de convergencia se achicó por el factor de adentro: la sustitución cambia el desarrollo y también su alcance.

Respuesta: $1 + 6x + 36x^{2} + \ldots$, válido para $|x| < \dfrac{1}{6}$

2. Derivamos los dos lados. A la izquierda queda $\dfrac{1}{(1 - x)^{2}}$ y a la derecha se deriva término a término.

3. Escribimos el resultado. $\dfrac{1}{(1 - x)^{2}} = 1 + 2x + 3x^{2} + 4x^{3} + \ldots$

4. Identificamos el término pedido. El coeficiente de $x^{7}$ es $8$, así que el término es $8x^{7}$. Derivar o integrar un desarrollo conocido es otra forma de conseguir uno nuevo sin calcular derivadas de la función original.

Respuesta: $\sum_{k = 0}^{\infty} (k+1)x^{k}$, y el término de grado $7$ es $8x^{7}$