Análisis Matemático › Sucesiones, series y Taylor › El polinomio de Taylor › Ejercicios Ejercicios: El polinomio de Taylor Hoja de fórmulas Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.
1. Hallá el polinomio de Taylor de orden 5 5 5 f ( x ) = e x f(x) = e^{x} f ( x ) = e x 0 0 0
Ver solución 1. Calculamos las derivadas en el centro. Todas las derivadas de e x e^{x} e x e x e^{x} e x 1 1 1 x = 0 x = 0 x = 0
2. Escribimos la fórmula general. P 5 ( x ) = ∑ k = 0 5 f ( k ) ( 0 ) k ! x k P_{5}(x) = \sum_{k = 0}^{5} \dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k} P 5 ( x ) = ∑ k = 0 5 k ! f ( k ) ( 0 ) x k
3. Reemplazamos. Todos los coeficientes son 1 k ! \dfrac{1}{k!} k ! 1
4. Escribimos el polinomio. P 5 ( x ) = x 5 120 + x 4 24 + x 3 6 + x 2 2 + x + 1 P_{5}(x) = \dfrac{x^{5}}{120} + \dfrac{x^{4}}{24} + \dfrac{x^{3}}{6} + \dfrac{x^{2}}{2} + x + 1 P 5 ( x ) = 120 x 5 + 24 x 4 + 6 x 3 + 2 x 2 + x + 1
Respuesta: P 5 ( x ) = x 5 120 + x 4 24 + x 3 6 + x 2 2 + x + 1 P_{5}(x) = \dfrac{x^{5}}{120} + \dfrac{x^{4}}{24} + \dfrac{x^{3}}{6} + \dfrac{x^{2}}{2} + x + 1 P 5 ( x ) = 120 x 5 + 24 x 4 + 6 x 3 + 2 x 2 + x + 1
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2. Hallá el polinomio de Taylor de orden 2 2 2 f ( x ) = sen x f(x) = \operatorname{sen} x f ( x ) = sen x 0 0 0
Ver solución 1. Calculamos las derivadas en el centro. sen 0 = 0 \operatorname{sen} 0 = 0 sen 0 = 0 cos 0 = 1 \cos 0 = 1 cos 0 = 1 − sen 0 = 0 -\operatorname{sen} 0 = 0 − sen 0 = 0 − cos 0 = − 1 -\cos 0 = -1 − cos 0 = − 1
2. Vemos qué coeficientes sobreviven. Los de orden par se anulan, así que el polinomio solo tiene potencias impares.
3. Escribimos los coeficientes. Los signos alternan y los denominadores son los factoriales de los exponentes.
4. Armamos el polinomio. P 2 ( x ) = x P_{2}(x) = x P 2 ( x ) = x
Respuesta: P 2 ( x ) = x P_{2}(x) = x P 2 ( x ) = x
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3. Hallá el polinomio de Taylor de orden 2 2 2 f ( x ) = ln x f(x) = \ln x f ( x ) = ln x a = 6 a = 6 a = 6
Ver solución 1. Calculamos las derivadas. f ( x ) = ln x f(x) = \ln x f ( x ) = ln x f ′ ( x ) = 1 x f'(x) = \dfrac{1}{x} f ′ ( x ) = x 1 f ′ ′ ( x ) = − 1 x 2 f''(x) = -\dfrac{1}{x^{2}} f ′′ ( x ) = − x 2 1
2. Evaluamos en el centro. f ( 6 ) = ln 6 f(6) = \ln 6 f ( 6 ) = ln 6 f ′ ( 6 ) = 1 6 f'(6) = \dfrac{1}{6} f ′ ( 6 ) = 6 1 f ′ ′ ( 6 ) = − 1 36 f''(6) = - \dfrac{1}{36} f ′′ ( 6 ) = − 36 1
3. Escribimos la fórmula. P 2 ( x ) = f ( 6 ) + f ′ ( 6 ) ( x − 6 ) + f ′ ′ ( 6 ) 2 ( x − 6 ) 2 P_{2}(x) = f(6) + f'(6)(x - 6) + \dfrac{f''(6)}{2}(x - 6)^{2} P 2 ( x ) = f ( 6 ) + f ′ ( 6 ) ( x − 6 ) + 2 f ′′ ( 6 ) ( x − 6 ) 2
4. Reemplazamos. P 2 ( x ) = ln 6 + 1 6 ( x − 6 ) − 1 72 ( x − 6 ) 2 P_{2}(x) = \ln 6 + \dfrac{1}{6}(x - 6) - \dfrac{1}{72}(x - 6)^{2} P 2 ( x ) = ln 6 + 6 1 ( x − 6 ) − 72 1 ( x − 6 ) 2 ( x − 6 ) (x - 6) ( x − 6 ) x x x
Respuesta: P 2 ( x ) = ln 6 + 1 6 ( x − 6 ) − 1 72 ( x − 6 ) 2 P_{2}(x) = \ln 6 + \dfrac{1}{6}(x - 6) - \dfrac{1}{72}(x - 6)^{2} P 2 ( x ) = ln 6 + 6 1 ( x − 6 ) − 72 1 ( x − 6 ) 2
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4. Aproximá e 0,25 e^{0{,}25} e 0 , 25 2 2 2 e x e^{x} e x 0 0 0
Ver solución 1. Escribimos el polinomio. P 2 ( x ) = 1 + x + x 2 2 P_{2}(x) = 1 + x + \dfrac{x^{2}}{2} P 2 ( x ) = 1 + x + 2 x 2
2. Reemplazamos el valor. P 2 ( 0,25 ) = 1 + 0,25 + 0,0625 2 P_{2}(0{,}25) = 1 + 0{,}25 + \dfrac{0{,}0625}{2} P 2 ( 0 , 25 ) = 1 + 0 , 25 + 2 0 , 0625
3. Calculamos. = 1,2812 = 1{,}2812 = 1 , 2812
4. Comparamos con el valor real. e 0,25 ≈ 1,284 e^{0{,}25} \approx 1{,}284 e 0 , 25 ≈ 1 , 284 0,0028 0{,}0028 0 , 0028
Respuesta: e 0,25 ≈ 1,2812 e^{0{,}25} \approx 1{,}2812 e 0 , 25 ≈ 1 , 2812
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5. Hallá el polinomio de Taylor de orden 6 6 6 f ( x ) = e x f(x) = e^{x} f ( x ) = e x 0 0 0
Ver solución 1. Calculamos las derivadas en el centro. Todas las derivadas de e x e^{x} e x e x e^{x} e x 1 1 1 x = 0 x = 0 x = 0
2. Escribimos la fórmula general. P 6 ( x ) = ∑ k = 0 6 f ( k ) ( 0 ) k ! x k P_{6}(x) = \sum_{k = 0}^{6} \dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k} P 6 ( x ) = ∑ k = 0 6 k ! f ( k ) ( 0 ) x k
3. Reemplazamos. Todos los coeficientes son 1 k ! \dfrac{1}{k!} k ! 1
4. Escribimos el polinomio. P 6 ( x ) = x 6 720 + x 5 120 + x 4 24 + x 3 6 + x 2 2 + x + 1 P_{6}(x) = \dfrac{x^{6}}{720} + \dfrac{x^{5}}{120} + \dfrac{x^{4}}{24} + \dfrac{x^{3}}{6} + \dfrac{x^{2}}{2} + x + 1 P 6 ( x ) = 720 x 6 + 120 x 5 + 24 x 4 + 6 x 3 + 2 x 2 + x + 1
Respuesta: P 6 ( x ) = x 6 720 + x 5 120 + x 4 24 + x 3 6 + x 2 2 + x + 1 P_{6}(x) = \dfrac{x^{6}}{720} + \dfrac{x^{5}}{120} + \dfrac{x^{4}}{24} + \dfrac{x^{3}}{6} + \dfrac{x^{2}}{2} + x + 1 P 6 ( x ) = 720 x 6 + 120 x 5 + 24 x 4 + 6 x 3 + 2 x 2 + x + 1
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6. Hallá el polinomio de Taylor de orden 3 3 3 f ( x ) = sen x f(x) = \operatorname{sen} x f ( x ) = sen x 0 0 0
Ver solución 1. Calculamos las derivadas en el centro. sen 0 = 0 \operatorname{sen} 0 = 0 sen 0 = 0 cos 0 = 1 \cos 0 = 1 cos 0 = 1 − sen 0 = 0 -\operatorname{sen} 0 = 0 − sen 0 = 0 − cos 0 = − 1 -\cos 0 = -1 − cos 0 = − 1
2. Vemos qué coeficientes sobreviven. Los de orden par se anulan, así que el polinomio solo tiene potencias impares.
3. Escribimos los coeficientes. Los signos alternan y los denominadores son los factoriales de los exponentes.
4. Armamos el polinomio. P 3 ( x ) = − x 3 6 + x P_{3}(x) = - \dfrac{x^{3}}{6} + x P 3 ( x ) = − 6 x 3 + x
Respuesta: P 3 ( x ) = − x 3 6 + x P_{3}(x) = - \dfrac{x^{3}}{6} + x P 3 ( x ) = − 6 x 3 + x
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7. Hallá el polinomio de Taylor de orden 2 2 2 f ( x ) = ln x f(x) = \ln x f ( x ) = ln x a = 3 a = 3 a = 3
Ver solución 1. Calculamos las derivadas. f ( x ) = ln x f(x) = \ln x f ( x ) = ln x f ′ ( x ) = 1 x f'(x) = \dfrac{1}{x} f ′ ( x ) = x 1 f ′ ′ ( x ) = − 1 x 2 f''(x) = -\dfrac{1}{x^{2}} f ′′ ( x ) = − x 2 1
2. Evaluamos en el centro. f ( 3 ) = ln 3 f(3) = \ln 3 f ( 3 ) = ln 3 f ′ ( 3 ) = 1 3 f'(3) = \dfrac{1}{3} f ′ ( 3 ) = 3 1 f ′ ′ ( 3 ) = − 1 9 f''(3) = - \dfrac{1}{9} f ′′ ( 3 ) = − 9 1
3. Escribimos la fórmula. P 2 ( x ) = f ( 3 ) + f ′ ( 3 ) ( x − 3 ) + f ′ ′ ( 3 ) 2 ( x − 3 ) 2 P_{2}(x) = f(3) + f'(3)(x - 3) + \dfrac{f''(3)}{2}(x - 3)^{2} P 2 ( x ) = f ( 3 ) + f ′ ( 3 ) ( x − 3 ) + 2 f ′′ ( 3 ) ( x − 3 ) 2
4. Reemplazamos. P 2 ( x ) = ln 3 + 1 3 ( x − 3 ) − 1 18 ( x − 3 ) 2 P_{2}(x) = \ln 3 + \dfrac{1}{3}(x - 3) - \dfrac{1}{18}(x - 3)^{2} P 2 ( x ) = ln 3 + 3 1 ( x − 3 ) − 18 1 ( x − 3 ) 2 ( x − 3 ) (x - 3) ( x − 3 ) x x x
Respuesta: P 2 ( x ) = ln 3 + 1 3 ( x − 3 ) − 1 18 ( x − 3 ) 2 P_{2}(x) = \ln 3 + \dfrac{1}{3}(x - 3) - \dfrac{1}{18}(x - 3)^{2} P 2 ( x ) = ln 3 + 3 1 ( x − 3 ) − 18 1 ( x − 3 ) 2
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8. Aproximá e 0,1 e^{0{,}1} e 0 , 1 2 2 2 e x e^{x} e x 0 0 0
Ver solución 1. Escribimos el polinomio. P 2 ( x ) = 1 + x + x 2 2 P_{2}(x) = 1 + x + \dfrac{x^{2}}{2} P 2 ( x ) = 1 + x + 2 x 2
2. Reemplazamos el valor. P 2 ( 0,1 ) = 1 + 0,1 + 0,01 2 P_{2}(0{,}1) = 1 + 0{,}1 + \dfrac{0{,}01}{2} P 2 ( 0 , 1 ) = 1 + 0 , 1 + 2 0 , 01
3. Calculamos. = 1,105 = 1{,}105 = 1 , 105
4. Comparamos con el valor real. e 0,1 ≈ 1,1052 e^{0{,}1} \approx 1{,}1052 e 0 , 1 ≈ 1 , 1052 0,0002 0{,}0002 0 , 0002
Respuesta: e 0,1 ≈ 1,105 e^{0{,}1} \approx 1{,}105 e 0 , 1 ≈ 1 , 105
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9. Hallá el polinomio de Taylor de orden 2 2 2 f ( x ) = e x f(x) = e^{x} f ( x ) = e x 0 0 0
Ver solución 1. Calculamos las derivadas en el centro. Todas las derivadas de e x e^{x} e x e x e^{x} e x 1 1 1 x = 0 x = 0 x = 0
2. Escribimos la fórmula general. P 2 ( x ) = ∑ k = 0 2 f ( k ) ( 0 ) k ! x k P_{2}(x) = \sum_{k = 0}^{2} \dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k} P 2 ( x ) = ∑ k = 0 2 k ! f ( k ) ( 0 ) x k
3. Reemplazamos. Todos los coeficientes son 1 k ! \dfrac{1}{k!} k ! 1
4. Escribimos el polinomio. P 2 ( x ) = x 2 2 + x + 1 P_{2}(x) = \dfrac{x^{2}}{2} + x + 1 P 2 ( x ) = 2 x 2 + x + 1
Respuesta: P 2 ( x ) = x 2 2 + x + 1 P_{2}(x) = \dfrac{x^{2}}{2} + x + 1 P 2 ( x ) = 2 x 2 + x + 1
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10. Hallá el polinomio de Taylor de orden 4 4 4 f ( x ) = sen x f(x) = \operatorname{sen} x f ( x ) = sen x 0 0 0
Ver solución 1. Calculamos las derivadas en el centro. sen 0 = 0 \operatorname{sen} 0 = 0 sen 0 = 0 cos 0 = 1 \cos 0 = 1 cos 0 = 1 − sen 0 = 0 -\operatorname{sen} 0 = 0 − sen 0 = 0 − cos 0 = − 1 -\cos 0 = -1 − cos 0 = − 1
2. Vemos qué coeficientes sobreviven. Los de orden par se anulan, así que el polinomio solo tiene potencias impares.
3. Escribimos los coeficientes. Los signos alternan y los denominadores son los factoriales de los exponentes.
4. Armamos el polinomio. P 4 ( x ) = − x 3 6 + x P_{4}(x) = - \dfrac{x^{3}}{6} + x P 4 ( x ) = − 6 x 3 + x
Respuesta: P 4 ( x ) = − x 3 6 + x P_{4}(x) = - \dfrac{x^{3}}{6} + x P 4 ( x ) = − 6 x 3 + x
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11. Hallá el polinomio de Taylor de orden 2 2 2 f ( x ) = ln x f(x) = \ln x f ( x ) = ln x a = 4 a = 4 a = 4
Ver solución 1. Calculamos las derivadas. f ( x ) = ln x f(x) = \ln x f ( x ) = ln x f ′ ( x ) = 1 x f'(x) = \dfrac{1}{x} f ′ ( x ) = x 1 f ′ ′ ( x ) = − 1 x 2 f''(x) = -\dfrac{1}{x^{2}} f ′′ ( x ) = − x 2 1
2. Evaluamos en el centro. f ( 4 ) = ln 4 f(4) = \ln 4 f ( 4 ) = ln 4 f ′ ( 4 ) = 1 4 f'(4) = \dfrac{1}{4} f ′ ( 4 ) = 4 1 f ′ ′ ( 4 ) = − 1 16 f''(4) = - \dfrac{1}{16} f ′′ ( 4 ) = − 16 1
3. Escribimos la fórmula. P 2 ( x ) = f ( 4 ) + f ′ ( 4 ) ( x − 4 ) + f ′ ′ ( 4 ) 2 ( x − 4 ) 2 P_{2}(x) = f(4) + f'(4)(x - 4) + \dfrac{f''(4)}{2}(x - 4)^{2} P 2 ( x ) = f ( 4 ) + f ′ ( 4 ) ( x − 4 ) + 2 f ′′ ( 4 ) ( x − 4 ) 2
4. Reemplazamos. P 2 ( x ) = ln 4 + 1 4 ( x − 4 ) − 1 32 ( x − 4 ) 2 P_{2}(x) = \ln 4 + \dfrac{1}{4}(x - 4) - \dfrac{1}{32}(x - 4)^{2} P 2 ( x ) = ln 4 + 4 1 ( x − 4 ) − 32 1 ( x − 4 ) 2 ( x − 4 ) (x - 4) ( x − 4 ) x x x
Respuesta: P 2 ( x ) = ln 4 + 1 4 ( x − 4 ) − 1 32 ( x − 4 ) 2 P_{2}(x) = \ln 4 + \dfrac{1}{4}(x - 4) - \dfrac{1}{32}(x - 4)^{2} P 2 ( x ) = ln 4 + 4 1 ( x − 4 ) − 32 1 ( x − 4 ) 2
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12. Aproximá e 0,5 e^{0{,}5} e 0 , 5 2 2 2 e x e^{x} e x 0 0 0
Ver solución 1. Escribimos el polinomio. P 2 ( x ) = 1 + x + x 2 2 P_{2}(x) = 1 + x + \dfrac{x^{2}}{2} P 2 ( x ) = 1 + x + 2 x 2
2. Reemplazamos el valor. P 2 ( 0,5 ) = 1 + 0,5 + 0,25 2 P_{2}(0{,}5) = 1 + 0{,}5 + \dfrac{0{,}25}{2} P 2 ( 0 , 5 ) = 1 + 0 , 5 + 2 0 , 25
3. Calculamos. = 1,625 = 1{,}625 = 1 , 625
4. Comparamos con el valor real. e 0,5 ≈ 1,6487 e^{0{,}5} \approx 1{,}6487 e 0 , 5 ≈ 1 , 6487 0,0237 0{,}0237 0 , 0237
Respuesta: e 0,5 ≈ 1,625 e^{0{,}5} \approx 1{,}625 e 0 , 5 ≈ 1 , 625
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Integradores de Sucesiones, series y Taylor: practicá este tema junto con el resto de la unidad
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