Método

Ejercicios: Series alternadas

∑(−1)nbn converge si bn decrece y bn→0\sum (-1)^{n} b_{n} \ \text{converge si } b_{n} \text{ decrece y } b_{n} \to 0

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Decidí si ∑n=1∞(−1)nn6\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n}}{n^{6}} converge, con el criterio de Leibniz.

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1. Identificamos la parte positiva. bn=1n6b_{n} = \dfrac{1}{n^{6}}, que es el valor absoluto del término.

2. Chequeamos que decrezca. n6n^{6} crece, así que bnb_{n} decrece: bn+1<bnb_{n+1} < b_{n} para todo nn.

3. Chequeamos que tienda a cero. lim⁡n→∞1n6=0\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n^{6}} = 0

4. Aplicamos el criterio. Se cumplen las dos hipótesis, así que la serie converge. La alternancia de signos hace que las sumas parciales queden encerradas en un intervalo que se achica.

Respuesta: converge por el criterio de Leibniz

2. Para ∑n=1∞(−1)n+1n\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{n}, acotá el error al sumar solo los primeros 77 términos.

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1. Verificamos que Leibniz se aplique. bn=1nb_{n} = \dfrac{1}{n} decrece y tiende a cero, así que la serie converge.

2. Escribimos la cota del error. En una serie alternada que cumple Leibniz, el error de truncar es menor que el primer término que se dejó afuera.

3. Identificamos ese término. Al sumar hasta n=7n = 7, el primero omitido es b8=18b_{8} = \dfrac{1}{8}.

4. Escribimos la cota. ∣S−S7∣<18≈0,125|S - S_{7}| < \dfrac{1}{8} \approx 0{,}125. Es una de las pocas series donde acotar el error es tan simple.

Respuesta: el error es menor que 18\dfrac{1}{8}

3. Decidí si ∑n=1∞(−1)nn7\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n}}{n^{7}} converge absolutamente o solo condicionalmente.

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1. Escribimos la serie de los módulos. ∑∣(−1)nn7∣=∑1n7\sum \left|\dfrac{(-1)^{n}}{n^{7}}\right| = \sum \dfrac{1}{n^{7}}

2. Estudiamos esa serie. Es una pp-serie con p=7>1p = 7 > 1, así que converge.

3. Aplicamos la definición. Si la serie de los módulos converge, la original converge absolutamente.

4. Comparamos con el otro caso. La alternada armónica, con p=1p = 1, converge por Leibniz pero su serie de módulos diverge: ahí la convergencia es solo condicional.

Respuesta: converge absolutamente

4. Decidí si se puede aplicar Leibniz a ∑n=1∞(−1)n4n+14n\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n} \dfrac{4n + 1}{4n}.

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1. Identificamos la parte positiva. bn=4n+14n=1+14nb_{n} = \dfrac{4n + 1}{4n} = 1 + \dfrac{1}{4n}

2. Chequeamos que decrezca. Sí decrece, porque el segundo sumando se achica.

3. Chequeamos que tienda a cero. bn→1b_{n} \to 1, no a cero: falla la segunda hipótesis.

4. Concluimos. No se puede aplicar Leibniz, y de hecho la serie diverge: el término general no tiende a cero, así que no cumple ni la condición necesaria.

Respuesta: no se puede aplicar: bnb_{n} tiende a 11 y no a cero, y la serie diverge

5. Decidí si ∑n=1∞(−1)nn5\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n}}{n^{5}} converge, con el criterio de Leibniz.

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1. Identificamos la parte positiva. bn=1n5b_{n} = \dfrac{1}{n^{5}}, que es el valor absoluto del término.

2. Chequeamos que decrezca. n5n^{5} crece, así que bnb_{n} decrece: bn+1<bnb_{n+1} < b_{n} para todo nn.

3. Chequeamos que tienda a cero. lim⁡n→∞1n5=0\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n^{5}} = 0

4. Aplicamos el criterio. Se cumplen las dos hipótesis, así que la serie converge. La alternancia de signos hace que las sumas parciales queden encerradas en un intervalo que se achica.

Respuesta: converge por el criterio de Leibniz

6. Para ∑n=1∞(−1)n+1n\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{n}, acotá el error al sumar solo los primeros 66 términos.

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1. Verificamos que Leibniz se aplique. bn=1nb_{n} = \dfrac{1}{n} decrece y tiende a cero, así que la serie converge.

2. Escribimos la cota del error. En una serie alternada que cumple Leibniz, el error de truncar es menor que el primer término que se dejó afuera.

3. Identificamos ese término. Al sumar hasta n=6n = 6, el primero omitido es b7=17b_{7} = \dfrac{1}{7}.

4. Escribimos la cota. ∣S−S6∣<17≈0,1429|S - S_{6}| < \dfrac{1}{7} \approx 0{,}1429. Es una de las pocas series donde acotar el error es tan simple.

Respuesta: el error es menor que 17\dfrac{1}{7}

7. Decidí si ∑n=1∞(−1)nn4\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n}}{n^{4}} converge absolutamente o solo condicionalmente.

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1. Escribimos la serie de los módulos. ∑∣(−1)nn4∣=∑1n4\sum \left|\dfrac{(-1)^{n}}{n^{4}}\right| = \sum \dfrac{1}{n^{4}}

2. Estudiamos esa serie. Es una pp-serie con p=4>1p = 4 > 1, así que converge.

3. Aplicamos la definición. Si la serie de los módulos converge, la original converge absolutamente.

4. Comparamos con el otro caso. La alternada armónica, con p=1p = 1, converge por Leibniz pero su serie de módulos diverge: ahí la convergencia es solo condicional.

Respuesta: converge absolutamente

8. Decidí si se puede aplicar Leibniz a ∑n=1∞(−1)n5n+15n\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n} \dfrac{5n + 1}{5n}.

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1. Identificamos la parte positiva. bn=5n+15n=1+15nb_{n} = \dfrac{5n + 1}{5n} = 1 + \dfrac{1}{5n}

2. Chequeamos que decrezca. Sí decrece, porque el segundo sumando se achica.

3. Chequeamos que tienda a cero. bn→1b_{n} \to 1, no a cero: falla la segunda hipótesis.

4. Concluimos. No se puede aplicar Leibniz, y de hecho la serie diverge: el término general no tiende a cero, así que no cumple ni la condición necesaria.

Respuesta: no se puede aplicar: bnb_{n} tiende a 11 y no a cero, y la serie diverge

9. Decidí si ∑n=1∞(−1)nn4\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n}}{n^{4}} converge, con el criterio de Leibniz.

Ver solución

1. Identificamos la parte positiva. bn=1n4b_{n} = \dfrac{1}{n^{4}}, que es el valor absoluto del término.

2. Chequeamos que decrezca. n4n^{4} crece, así que bnb_{n} decrece: bn+1<bnb_{n+1} < b_{n} para todo nn.

3. Chequeamos que tienda a cero. lim⁡n→∞1n4=0\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n^{4}} = 0

4. Aplicamos el criterio. Se cumplen las dos hipótesis, así que la serie converge. La alternancia de signos hace que las sumas parciales queden encerradas en un intervalo que se achica.

Respuesta: converge por el criterio de Leibniz

10. Para ∑n=1∞(−1)n+1n\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{n}, acotá el error al sumar solo los primeros 44 términos.

Ver solución

1. Verificamos que Leibniz se aplique. bn=1nb_{n} = \dfrac{1}{n} decrece y tiende a cero, así que la serie converge.

2. Escribimos la cota del error. En una serie alternada que cumple Leibniz, el error de truncar es menor que el primer término que se dejó afuera.

3. Identificamos ese término. Al sumar hasta n=4n = 4, el primero omitido es b5=15b_{5} = \dfrac{1}{5}.

4. Escribimos la cota. ∣S−S4∣<15≈0,2|S - S_{4}| < \dfrac{1}{5} \approx 0{,}2. Es una de las pocas series donde acotar el error es tan simple.

Respuesta: el error es menor que 15\dfrac{1}{5}

11. Decidí si ∑n=1∞(−1)nn5\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n}}{n^{5}} converge absolutamente o solo condicionalmente.

Ver solución

1. Escribimos la serie de los módulos. ∑∣(−1)nn5∣=∑1n5\sum \left|\dfrac{(-1)^{n}}{n^{5}}\right| = \sum \dfrac{1}{n^{5}}

2. Estudiamos esa serie. Es una pp-serie con p=5>1p = 5 > 1, así que converge.

3. Aplicamos la definición. Si la serie de los módulos converge, la original converge absolutamente.

4. Comparamos con el otro caso. La alternada armónica, con p=1p = 1, converge por Leibniz pero su serie de módulos diverge: ahí la convergencia es solo condicional.

Respuesta: converge absolutamente

12. Decidí si se puede aplicar Leibniz a ∑n=1∞(−1)n6n+16n\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n} \dfrac{6n + 1}{6n}.

Ver solución

1. Identificamos la parte positiva. bn=6n+16n=1+16nb_{n} = \dfrac{6n + 1}{6n} = 1 + \dfrac{1}{6n}

2. Chequeamos que decrezca. Sí decrece, porque el segundo sumando se achica.

3. Chequeamos que tienda a cero. bn→1b_{n} \to 1, no a cero: falla la segunda hipótesis.

4. Concluimos. No se puede aplicar Leibniz, y de hecho la serie diverge: el término general no tiende a cero, así que no cumple ni la condición necesaria.

Respuesta: no se puede aplicar: bnb_{n} tiende a 11 y no a cero, y la serie diverge

Integradores de Sucesiones, series y Taylor: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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