Método

Ejercicios: El criterio de la integral

∑n=1∞f(n) y ∫1∞f(x) dx hacen lo mismo\sum_{n=1}^{\infty} f(n) \ \text{y} \ \int_{1}^{\infty} f(x) \, dx \ \text{hacen lo mismo}

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Usá el criterio de la integral para decidir si ∑n=1∞1n2\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{2}} converge.

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1. Definimos la función asociada. f(x)=1x2f(x) = \dfrac{1}{x^{2}}, que en [1,+∞)[1, +\infty) es positiva, continua y decreciente: cumple las hipótesis.

2. Planteamos la integral impropia. ∫1+∞x−2 dx=lim⁡b→∞x−1−1∣1b\int_{1}^{+\infty} x^{-2}\,dx = \lim_{b \to \infty} \left.\dfrac{x^{-1}}{-1}\right|_{1}^{b}

3. Calculamos el límite. El exponente −1-1 es negativo, así que b−1→0b^{-1} \to 0 y la integral vale 11.

4. Concluimos. La integral converge, así que la serie también. Ojo: el valor 11 es el de la integral, no la suma de la serie.

Respuesta: converge

2. Verificá las hipótesis del criterio de la integral para ∑n=1∞1n+3\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{n + 3} y aplicalo.

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1. Escribimos la función asociada. f(x)=1x+3f(x) = \dfrac{1}{x + 3}

2. Chequeamos las tres hipótesis. En [1,+∞)[1, +\infty) es positiva, es continua porque el denominador no se anula, y es decreciente porque f′(x)=−1(x+3)2<0f'(x) = -\dfrac{1}{(x + 3)^{2}} < 0.

3. Calculamos la integral impropia. ∫1+∞dxx+3=lim⁡b→∞(ln⁡(b+3)−ln⁡(4))=+∞\int_{1}^{+\infty} \dfrac{dx}{x + 3} = \lim_{b \to \infty} \left(\ln(b + 3) - \ln(4)\right) = +\infty

4. Concluimos. La integral diverge, así que la serie también. Sin verificar el decrecimiento el criterio no se puede aplicar.

Respuesta: diverge

3. Decidí si ∑n=2∞1n(ln⁡n)3\sum_{n = 2}^{\infty} \dfrac{1}{n(\ln n)^{3}} converge, usando el criterio de la integral.

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1. Escribimos la función. f(x)=1x(ln⁡x)3f(x) = \dfrac{1}{x(\ln x)^{3}}, positiva, continua y decreciente en [2,+∞)[2, +\infty).

2. Planteamos la integral y sustituimos. ∫2+∞dxx(ln⁡x)3\int_{2}^{+\infty} \dfrac{dx}{x(\ln x)^{3}} con u=ln⁡xu = \ln x queda ∫u−3 du\int u^{-3}\,du.

3. Resolvemos. La primitiva es (ln⁡x)−2−2\dfrac{(\ln x)^{-2}}{-2}, y como el exponente −2-2 es negativo, tiende a 00 cuando x→∞x \to \infty.

4. Concluimos. La integral converge, así que la serie también. Con exponente 3>13 > 1 el logaritmo alcanza para frenar la divergencia, cosa que con exponente 11 no pasaba.

Respuesta: converge

4. Decidí si ∑n=1∞e−4n\sum_{n = 1}^{\infty} e^{-4n} converge, usando el criterio de la integral.

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1. Escribimos la función. f(x)=e−4xf(x) = e^{-4x}, positiva, continua y decreciente en [1,+∞)[1, +\infty).

2. Planteamos la integral impropia. ∫1+∞e−4x dx=lim⁡b→∞−e−4x4∣1b\int_{1}^{+\infty} e^{-4x}\,dx = \lim_{b \to \infty} \left.-\dfrac{e^{-4x}}{4}\right|_{1}^{b}

3. Calculamos. =e−44 = \dfrac{e^{-4}}{4}, un número finito.

4. Concluimos. La integral converge, así que la serie también. También se podía ver como geométrica de razón e−4<1e^{-4} < 1.

Respuesta: converge

5. Usá el criterio de la integral para decidir si ∑n=1∞1n6\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{6}} converge.

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1. Definimos la función asociada. f(x)=1x6f(x) = \dfrac{1}{x^{6}}, que en [1,+∞)[1, +\infty) es positiva, continua y decreciente: cumple las hipótesis.

2. Planteamos la integral impropia. ∫1+∞x−6 dx=lim⁡b→∞x−5−5∣1b\int_{1}^{+\infty} x^{-6}\,dx = \lim_{b \to \infty} \left.\dfrac{x^{-5}}{-5}\right|_{1}^{b}

3. Calculamos el límite. El exponente −5-5 es negativo, así que b−5→0b^{-5} \to 0 y la integral vale 15\dfrac{1}{5}.

4. Concluimos. La integral converge, así que la serie también. Ojo: el valor 15\dfrac{1}{5} es el de la integral, no la suma de la serie.

Respuesta: converge

6. Verificá las hipótesis del criterio de la integral para ∑n=1∞1n+6\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{n + 6} y aplicalo.

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1. Escribimos la función asociada. f(x)=1x+6f(x) = \dfrac{1}{x + 6}

2. Chequeamos las tres hipótesis. En [1,+∞)[1, +\infty) es positiva, es continua porque el denominador no se anula, y es decreciente porque f′(x)=−1(x+6)2<0f'(x) = -\dfrac{1}{(x + 6)^{2}} < 0.

3. Calculamos la integral impropia. ∫1+∞dxx+6=lim⁡b→∞(ln⁡(b+6)−ln⁡(7))=+∞\int_{1}^{+\infty} \dfrac{dx}{x + 6} = \lim_{b \to \infty} \left(\ln(b + 6) - \ln(7)\right) = +\infty

4. Concluimos. La integral diverge, así que la serie también. Sin verificar el decrecimiento el criterio no se puede aplicar.

Respuesta: diverge

7. Decidí si ∑n=2∞1n(ln⁡n)7\sum_{n = 2}^{\infty} \dfrac{1}{n(\ln n)^{7}} converge, usando el criterio de la integral.

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1. Escribimos la función. f(x)=1x(ln⁡x)7f(x) = \dfrac{1}{x(\ln x)^{7}}, positiva, continua y decreciente en [2,+∞)[2, +\infty).

2. Planteamos la integral y sustituimos. ∫2+∞dxx(ln⁡x)7\int_{2}^{+\infty} \dfrac{dx}{x(\ln x)^{7}} con u=ln⁡xu = \ln x queda ∫u−7 du\int u^{-7}\,du.

3. Resolvemos. La primitiva es (ln⁡x)−6−6\dfrac{(\ln x)^{-6}}{-6}, y como el exponente −6-6 es negativo, tiende a 00 cuando x→∞x \to \infty.

4. Concluimos. La integral converge, así que la serie también. Con exponente 7>17 > 1 el logaritmo alcanza para frenar la divergencia, cosa que con exponente 11 no pasaba.

Respuesta: converge

8. Decidí si ∑n=1∞e−3n\sum_{n = 1}^{\infty} e^{-3n} converge, usando el criterio de la integral.

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1. Escribimos la función. f(x)=e−3xf(x) = e^{-3x}, positiva, continua y decreciente en [1,+∞)[1, +\infty).

2. Planteamos la integral impropia. ∫1+∞e−3x dx=lim⁡b→∞−e−3x3∣1b\int_{1}^{+\infty} e^{-3x}\,dx = \lim_{b \to \infty} \left.-\dfrac{e^{-3x}}{3}\right|_{1}^{b}

3. Calculamos. =e−33 = \dfrac{e^{-3}}{3}, un número finito.

4. Concluimos. La integral converge, así que la serie también. También se podía ver como geométrica de razón e−3<1e^{-3} < 1.

Respuesta: converge

9. Usá el criterio de la integral para decidir si ∑n=1∞1n5\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{5}} converge.

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1. Definimos la función asociada. f(x)=1x5f(x) = \dfrac{1}{x^{5}}, que en [1,+∞)[1, +\infty) es positiva, continua y decreciente: cumple las hipótesis.

2. Planteamos la integral impropia. ∫1+∞x−5 dx=lim⁡b→∞x−4−4∣1b\int_{1}^{+\infty} x^{-5}\,dx = \lim_{b \to \infty} \left.\dfrac{x^{-4}}{-4}\right|_{1}^{b}

3. Calculamos el límite. El exponente −4-4 es negativo, así que b−4→0b^{-4} \to 0 y la integral vale 14\dfrac{1}{4}.

4. Concluimos. La integral converge, así que la serie también. Ojo: el valor 14\dfrac{1}{4} es el de la integral, no la suma de la serie.

Respuesta: converge

10. Verificá las hipótesis del criterio de la integral para ∑n=1∞1n+2\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{n + 2} y aplicalo.

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1. Escribimos la función asociada. f(x)=1x+2f(x) = \dfrac{1}{x + 2}

2. Chequeamos las tres hipótesis. En [1,+∞)[1, +\infty) es positiva, es continua porque el denominador no se anula, y es decreciente porque f′(x)=−1(x+2)2<0f'(x) = -\dfrac{1}{(x + 2)^{2}} < 0.

3. Calculamos la integral impropia. ∫1+∞dxx+2=lim⁡b→∞(ln⁡(b+2)−ln⁡(3))=+∞\int_{1}^{+\infty} \dfrac{dx}{x + 2} = \lim_{b \to \infty} \left(\ln(b + 2) - \ln(3)\right) = +\infty

4. Concluimos. La integral diverge, así que la serie también. Sin verificar el decrecimiento el criterio no se puede aplicar.

Respuesta: diverge

11. Decidí si ∑n=2∞1n(ln⁡n)2\sum_{n = 2}^{\infty} \dfrac{1}{n(\ln n)^{2}} converge, usando el criterio de la integral.

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1. Escribimos la función. f(x)=1x(ln⁡x)2f(x) = \dfrac{1}{x(\ln x)^{2}}, positiva, continua y decreciente en [2,+∞)[2, +\infty).

2. Planteamos la integral y sustituimos. ∫2+∞dxx(ln⁡x)2\int_{2}^{+\infty} \dfrac{dx}{x(\ln x)^{2}} con u=ln⁡xu = \ln x queda ∫u−2 du\int u^{-2}\,du.

3. Resolvemos. La primitiva es (ln⁡x)−1−1\dfrac{(\ln x)^{-1}}{-1}, y como el exponente −1-1 es negativo, tiende a 00 cuando x→∞x \to \infty.

4. Concluimos. La integral converge, así que la serie también. Con exponente 2>12 > 1 el logaritmo alcanza para frenar la divergencia, cosa que con exponente 11 no pasaba.

Respuesta: converge

12. Decidí si ∑n=1∞e−2n\sum_{n = 1}^{\infty} e^{-2n} converge, usando el criterio de la integral.

Ver solución

1. Escribimos la función. f(x)=e−2xf(x) = e^{-2x}, positiva, continua y decreciente en [1,+∞)[1, +\infty).

2. Planteamos la integral impropia. ∫1+∞e−2x dx=lim⁡b→∞−e−2x2∣1b\int_{1}^{+\infty} e^{-2x}\,dx = \lim_{b \to \infty} \left.-\dfrac{e^{-2x}}{2}\right|_{1}^{b}

3. Calculamos. =e−22 = \dfrac{e^{-2}}{2}, un número finito.

4. Concluimos. La integral converge, así que la serie también. También se podía ver como geométrica de razón e−2<1e^{-2} < 1.

Respuesta: converge

Integradores de Sucesiones, series y Taylor: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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