Ejercicios: El criterio de la raíz

L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_{n}|}

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Aplicá el criterio de la raíz a $\sum_{n = 1}^{\infty} \left(\dfrac{5}{6}\right)^{n}$ .

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1. Escribimos la raíz $n$ -ésima del término. $\sqrt[n]{\left(\dfrac{5}{6}\right)^{n}} = \dfrac{5}{6}$

2. Tomamos límite. Es una constante, así que $L = \dfrac{5}{6}$ .

3. Aplicamos el criterio. $L = \dfrac{5}{6} < 1$ , así que la serie converge.

4. Verificamos por otro camino. Es una geométrica de razón $\dfrac{5}{6}$ , y la fórmula da el mismo veredicto. Cuando el término es una potencia $n$ -ésima, la raíz es el camino más corto.

Respuesta: converge, con $L = \dfrac{5}{6}$

2. Aplicá el criterio de la raíz a $\sum_{n = 1}^{\infty} \left(\dfrac{n}{5n + 1}\right)^{n}$ .

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1. Escribimos la raíz $n$ -ésima. $\sqrt[n]{\left(\dfrac{n}{5n + 1}\right)^{n}} = \dfrac{n}{5n + 1}$

2. Tomamos límite. $L = \lim_{n \to \infty} \dfrac{n}{5n + 1} = \dfrac{1}{5}$

3. Aplicamos el criterio. $L = \dfrac{1}{5} < 1$ , así que la serie converge.

4. Comparamos con el otro criterio. Con el del cociente habría que simplificar potencias $n$ -ésimas de expresiones distintas, mucho más incómodo. La raíz es la elección natural acá.

Respuesta: converge, con $L = \dfrac{1}{5}$

3. Aplicá el criterio de la raíz a $\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{3}}$ .

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1. Escribimos la raíz $n$ -ésima. $\sqrt[n]{\dfrac{1}{n^{3}}} = \dfrac{1}{\left(\sqrt[n]{n}\right)^{3}}$

2. Usamos un límite conocido. $\sqrt[n]{n} \to 1$ cuando $n \to \infty$ .

3. Tomamos límite. $L = 1$ , así que el criterio no decide.

4. Resolvemos por otro camino. Igual que el criterio del cociente, la raíz falla con las potencias. Por $p$ -serie con $p = 3 > 1$ , la serie converge.

Respuesta: $L = 1$ : el criterio no decide

4. Aplicá el criterio de la raíz a $\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{2^{n}}{n^{n}}$ .

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1. Escribimos la raíz $n$ -ésima. $\sqrt[n]{\dfrac{2^{n}}{n^{n}}} = \dfrac{2}{n}$

2. Tomamos límite. $L = \lim_{n \to \infty} \dfrac{2}{n} = 0$

3. Aplicamos el criterio. $L = 0 < 1$ , así que la serie converge.

4. Interpretamos. $n^{n}$ crece todavía más rápido que el factorial, así que los términos se hacen chiquísimos enseguida.

Respuesta: converge, con $L = 0$

5. Aplicá el criterio de la raíz a $\sum_{n = 1}^{\infty} \left(\dfrac{3}{5}\right)^{n}$ .

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1. Escribimos la raíz $n$ -ésima del término. $\sqrt[n]{\left(\dfrac{3}{5}\right)^{n}} = \dfrac{3}{5}$

2. Tomamos límite. Es una constante, así que $L = \dfrac{3}{5}$ .

3. Aplicamos el criterio. $L = \dfrac{3}{5} < 1$ , así que la serie converge.

4. Verificamos por otro camino. Es una geométrica de razón $\dfrac{3}{5}$ , y la fórmula da el mismo veredicto. Cuando el término es una potencia $n$ -ésima, la raíz es el camino más corto.

Respuesta: converge, con $L = \dfrac{3}{5}$

6. Aplicá el criterio de la raíz a $\sum_{n = 1}^{\infty} \left(\dfrac{n}{7n + 1}\right)^{n}$ .

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1. Escribimos la raíz $n$ -ésima. $\sqrt[n]{\left(\dfrac{n}{7n + 1}\right)^{n}} = \dfrac{n}{7n + 1}$

2. Tomamos límite. $L = \lim_{n \to \infty} \dfrac{n}{7n + 1} = \dfrac{1}{7}$

3. Aplicamos el criterio. $L = \dfrac{1}{7} < 1$ , así que la serie converge.

4. Comparamos con el otro criterio. Con el del cociente habría que simplificar potencias $n$ -ésimas de expresiones distintas, mucho más incómodo. La raíz es la elección natural acá.

Respuesta: converge, con $L = \dfrac{1}{7}$

7. Aplicá el criterio de la raíz a $\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{6}}$ .

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1. Escribimos la raíz $n$ -ésima. $\sqrt[n]{\dfrac{1}{n^{6}}} = \dfrac{1}{\left(\sqrt[n]{n}\right)^{6}}$

2. Usamos un límite conocido. $\sqrt[n]{n} \to 1$ cuando $n \to \infty$ .

3. Tomamos límite. $L = 1$ , así que el criterio no decide.

4. Resolvemos por otro camino. Igual que el criterio del cociente, la raíz falla con las potencias. Por $p$ -serie con $p = 6 > 1$ , la serie converge.

Respuesta: $L = 1$ : el criterio no decide

8. Aplicá el criterio de la raíz a $\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{4^{n}}{n^{n}}$ .

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1. Escribimos la raíz $n$ -ésima. $\sqrt[n]{\dfrac{4^{n}}{n^{n}}} = \dfrac{4}{n}$

2. Tomamos límite. $L = \lim_{n \to \infty} \dfrac{4}{n} = 0$

3. Aplicamos el criterio. $L = 0 < 1$ , así que la serie converge.

4. Interpretamos. $n^{n}$ crece todavía más rápido que el factorial, así que los términos se hacen chiquísimos enseguida.

Respuesta: converge, con $L = 0$

9. Aplicá el criterio de la raíz a $\sum_{n = 1}^{\infty} \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}$ .

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1. Escribimos la raíz $n$ -ésima del término. $\sqrt[n]{\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}} = \dfrac{2}{3}$

2. Tomamos límite. Es una constante, así que $L = \dfrac{2}{3}$ .

3. Aplicamos el criterio. $L = \dfrac{2}{3} < 1$ , así que la serie converge.

4. Verificamos por otro camino. Es una geométrica de razón $\dfrac{2}{3}$ , y la fórmula da el mismo veredicto. Cuando el término es una potencia $n$ -ésima, la raíz es el camino más corto.

Respuesta: converge, con $L = \dfrac{2}{3}$

10. Aplicá el criterio de la raíz a $\sum_{n = 1}^{\infty} \left(\dfrac{n}{2n + 1}\right)^{n}$ .

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1. Escribimos la raíz $n$ -ésima. $\sqrt[n]{\left(\dfrac{n}{2n + 1}\right)^{n}} = \dfrac{n}{2n + 1}$

2. Tomamos límite. $L = \lim_{n \to \infty} \dfrac{n}{2n + 1} = \dfrac{1}{2}$

3. Aplicamos el criterio. $L = \dfrac{1}{2} < 1$ , así que la serie converge.

4. Comparamos con el otro criterio. Con el del cociente habría que simplificar potencias $n$ -ésimas de expresiones distintas, mucho más incómodo. La raíz es la elección natural acá.

Respuesta: converge, con $L = \dfrac{1}{2}$

11. Aplicá el criterio de la raíz a $\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{7}}$ .

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1. Escribimos la raíz $n$ -ésima. $\sqrt[n]{\dfrac{1}{n^{7}}} = \dfrac{1}{\left(\sqrt[n]{n}\right)^{7}}$

2. Usamos un límite conocido. $\sqrt[n]{n} \to 1$ cuando $n \to \infty$ .

3. Tomamos límite. $L = 1$ , así que el criterio no decide.

4. Resolvemos por otro camino. Igual que el criterio del cociente, la raíz falla con las potencias. Por $p$ -serie con $p = 7 > 1$ , la serie converge.

Respuesta: $L = 1$ : el criterio no decide

12. Aplicá el criterio de la raíz a $\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{7^{n}}{n^{n}}$ .

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1. Escribimos la raíz $n$ -ésima. $\sqrt[n]{\dfrac{7^{n}}{n^{n}}} = \dfrac{7}{n}$

2. Tomamos límite. $L = \lim_{n \to \infty} \dfrac{7}{n} = 0$

3. Aplicamos el criterio. $L = 0 < 1$ , así que la serie converge.

4. Interpretamos. $n^{n}$ crece todavía más rápido que el factorial, así que los términos se hacen chiquísimos enseguida.

Respuesta: converge, con $L = 0$

Integradores de Sucesiones, series y Taylor: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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