Ejercicios: El criterio del cociente

L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right|

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Aplicá el criterio del cociente a $\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{2^{n}}{n!}$ .

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1. Escribimos el cociente entre términos consecutivos. $\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}} = \dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \dfrac{n!}{2^{n}}$

2. Simplificamos. Las potencias dejan $2$ y los factoriales dejan $\dfrac{1}{n+1}$ , así que queda $\dfrac{2}{n+1}$ .

3. Tomamos límite. $L = \lim_{n \to \infty} \dfrac{2}{n+1} = 0$

4. Aplicamos el criterio. $L = 0 < 1$ , así que la serie converge. Con factoriales el cociente casi siempre simplifica bien, y por eso este criterio es el indicado.

Respuesta: converge, con $L = 0$

2. Aplicá el criterio del cociente a $\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{2^{n}}{7^{n}} \cdot n$ .

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1. Escribimos el cociente. $\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}} = \dfrac{2^{n+1}(n+1)}{7^{n+1}} \cdot \dfrac{7^{n}}{2^{n}n}$

2. Simplificamos. Queda $\dfrac{2}{7} \cdot \dfrac{n+1}{n}$ .

3. Tomamos límite. $\dfrac{n+1}{n} \to 1$ , así que $L = \dfrac{2}{7}$ .

4. Aplicamos el criterio. $L = \dfrac{2}{7} < 1$ , así que converge. El factor $n$ no alcanza para compensar que la parte exponencial se achique.

Respuesta: converge, con $L = \dfrac{2}{7}$

3. Aplicá el criterio del cociente a $\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{5}}$ y decidí qué informa.

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1. Escribimos el cociente. $\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}} = \dfrac{n^{5}}{(n+1)^{5}} = \left(\dfrac{n}{n+1}\right)^{5}$

2. Tomamos límite. $\dfrac{n}{n+1} \to 1$ , así que $L = 1$ .

3. Interpretamos. Con $L = 1$ el criterio no decide: la serie puede converger o divergir y hay que usar otra herramienta.

4. Resolvemos por otro camino. Es una $p$ -serie con $p = 5 > 1$ , así que converge. El criterio del cociente falla justo con las potencias, porque no distingue exponentes.

Respuesta: $L = 1$ : el criterio no decide, pero por $p$ -serie converge

4. Aplicá el criterio del cociente a $\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{n!}{2^{n}}$ .

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1. Escribimos el cociente. $\dfrac{(n+1)!}{2^{n+1}} \cdot \dfrac{2^{n}}{n!}$

2. Simplificamos. Los factoriales dejan $n + 1$ y las potencias $\dfrac{1}{2}$ , así que queda $\dfrac{n+1}{2}$ .

3. Tomamos límite. $L = +\infty$ , porque el numerador crece sin freno.

4. Aplicamos el criterio. $L > 1$ , así que la serie diverge. El factorial le gana a la exponencial, y por eso los términos ni siquiera tienden a cero.

Respuesta: diverge

5. Aplicá el criterio del cociente a $\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{5^{n}}{n!}$ .

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1. Escribimos el cociente entre términos consecutivos. $\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}} = \dfrac{5^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \dfrac{n!}{5^{n}}$

2. Simplificamos. Las potencias dejan $5$ y los factoriales dejan $\dfrac{1}{n+1}$ , así que queda $\dfrac{5}{n+1}$ .

3. Tomamos límite. $L = \lim_{n \to \infty} \dfrac{5}{n+1} = 0$

4. Aplicamos el criterio. $L = 0 < 1$ , así que la serie converge. Con factoriales el cociente casi siempre simplifica bien, y por eso este criterio es el indicado.

Respuesta: converge, con $L = 0$

6. Aplicá el criterio del cociente a $\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{3^{n}}{7^{n}} \cdot n$ .

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1. Escribimos el cociente. $\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}} = \dfrac{3^{n+1}(n+1)}{7^{n+1}} \cdot \dfrac{7^{n}}{3^{n}n}$

2. Simplificamos. Queda $\dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{n+1}{n}$ .

3. Tomamos límite. $\dfrac{n+1}{n} \to 1$ , así que $L = \dfrac{3}{7}$ .

4. Aplicamos el criterio. $L = \dfrac{3}{7} < 1$ , así que converge. El factor $n$ no alcanza para compensar que la parte exponencial se achique.

Respuesta: converge, con $L = \dfrac{3}{7}$

7. Aplicá el criterio del cociente a $\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{2}}$ y decidí qué informa.

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1. Escribimos el cociente. $\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}} = \dfrac{n^{2}}{(n+1)^{2}} = \left(\dfrac{n}{n+1}\right)^{2}$

2. Tomamos límite. $\dfrac{n}{n+1} \to 1$ , así que $L = 1$ .

3. Interpretamos. Con $L = 1$ el criterio no decide: la serie puede converger o divergir y hay que usar otra herramienta.

4. Resolvemos por otro camino. Es una $p$ -serie con $p = 2 > 1$ , así que converge. El criterio del cociente falla justo con las potencias, porque no distingue exponentes.

Respuesta: $L = 1$ : el criterio no decide, pero por $p$ -serie converge

8. Aplicá el criterio del cociente a $\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{n!}{5^{n}}$ .

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1. Escribimos el cociente. $\dfrac{(n+1)!}{5^{n+1}} \cdot \dfrac{5^{n}}{n!}$

2. Simplificamos. Los factoriales dejan $n + 1$ y las potencias $\dfrac{1}{5}$ , así que queda $\dfrac{n+1}{5}$ .

3. Tomamos límite. $L = +\infty$ , porque el numerador crece sin freno.

4. Aplicamos el criterio. $L > 1$ , así que la serie diverge. El factorial le gana a la exponencial, y por eso los términos ni siquiera tienden a cero.

Respuesta: diverge

9. Aplicá el criterio del cociente a $\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{6^{n}}{n!}$ .

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1. Escribimos el cociente entre términos consecutivos. $\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}} = \dfrac{6^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \dfrac{n!}{6^{n}}$

2. Simplificamos. Las potencias dejan $6$ y los factoriales dejan $\dfrac{1}{n+1}$ , así que queda $\dfrac{6}{n+1}$ .

3. Tomamos límite. $L = \lim_{n \to \infty} \dfrac{6}{n+1} = 0$

4. Aplicamos el criterio. $L = 0 < 1$ , así que la serie converge. Con factoriales el cociente casi siempre simplifica bien, y por eso este criterio es el indicado.

Respuesta: converge, con $L = 0$

10. Aplicá el criterio del cociente a $\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{2^{n}}{5^{n}} \cdot n$ .

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1. Escribimos el cociente. $\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}} = \dfrac{2^{n+1}(n+1)}{5^{n+1}} \cdot \dfrac{5^{n}}{2^{n}n}$

2. Simplificamos. Queda $\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{n+1}{n}$ .

3. Tomamos límite. $\dfrac{n+1}{n} \to 1$ , así que $L = \dfrac{2}{5}$ .

4. Aplicamos el criterio. $L = \dfrac{2}{5} < 1$ , así que converge. El factor $n$ no alcanza para compensar que la parte exponencial se achique.

Respuesta: converge, con $L = \dfrac{2}{5}$

11. Aplicá el criterio del cociente a $\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{7}}$ y decidí qué informa.

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1. Escribimos el cociente. $\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}} = \dfrac{n^{7}}{(n+1)^{7}} = \left(\dfrac{n}{n+1}\right)^{7}$

2. Tomamos límite. $\dfrac{n}{n+1} \to 1$ , así que $L = 1$ .

3. Interpretamos. Con $L = 1$ el criterio no decide: la serie puede converger o divergir y hay que usar otra herramienta.

4. Resolvemos por otro camino. Es una $p$ -serie con $p = 7 > 1$ , así que converge. El criterio del cociente falla justo con las potencias, porque no distingue exponentes.

Respuesta: $L = 1$ : el criterio no decide, pero por $p$ -serie converge

12. Aplicá el criterio del cociente a $\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{n!}{7^{n}}$ .

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1. Escribimos el cociente. $\dfrac{(n+1)!}{7^{n+1}} \cdot \dfrac{7^{n}}{n!}$

2. Simplificamos. Los factoriales dejan $n + 1$ y las potencias $\dfrac{1}{7}$ , así que queda $\dfrac{n+1}{7}$ .

3. Tomamos límite. $L = +\infty$ , porque el numerador crece sin freno.

4. Aplicamos el criterio. $L > 1$ , así que la serie diverge. El factorial le gana a la exponencial, y por eso los términos ni siquiera tienden a cero.

Respuesta: diverge

Integradores de Sucesiones, series y Taylor: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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