El criterio del cociente

El criterio del cociente mira cuánto se achica cada término respecto del anterior. Se calcula el límite del cociente entre términos consecutivos, en valor absoluto, y ese número decide.

Si el límite es menor que $1$ , cada término es una fracción del anterior y la serie converge, igual que una geométrica. Si es mayor que $1$ , los términos crecen y la serie diverge. Si da exactamente $1$ , el criterio no decide y hay que usar otro.

Ese caso de empate no es raro: pasa justamente con las p-series, donde el cociente siempre tiende a $1$ sin importar el exponente. Por eso el criterio del cociente no sirve para decidir si converge $\sum \frac{1}{n^{2}}$ .

Donde sí funciona muy bien es cuando aparecen factoriales o potencias con exponente $n$ . En esos casos el cociente simplifica muchísimo y el límite sale casi solo.

Conviene armar el cociente con cuidado. Dividir por una fracción es multiplicar por su inversa, y en los factoriales hay que recordar que $(n+1)! = (n+1) \cdot n!$ , que es lo que permite cancelar.

L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right|

Cuándo se usa

Cuando aparecen factoriales o potencias con exponente variable. Armá el cociente entre el término siguiente y el actual y simplificá. Con p-series siempre da uno y no decide, así que ahí no lo uses.

Ejemplo 1

Decidir si $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}$ converge.

Armamos el cociente. Es $\frac{1/(n+1)!}{1/n!} = \frac{n!}{(n+1)!}$ .
Simplificamos usando que $(n+1)! = (n+1) \cdot n!$ . Queda $\frac{1}{n+1}$ .
Tomamos el límite. Da $0$ .
Comparamos con $1$ . Como $0 < 1$ , converge.
Respuesta: converge

Ejemplo 2

Decidir si $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}}{n!}$ converge.

Armamos el cociente. Es $\frac{3^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{3^{n}}$ .
Simplificamos por separado. Las potencias dejan $3$ y los factoriales $\frac{1}{n+1}$ .
Queda $\frac{3}{n+1}$ , cuyo límite es $0$ .
Comparamos con $1$ . Como $0 < 1$ , converge. El factorial le gana a la potencia.
Respuesta: converge

Error típico

Concluir que la serie diverge cuando el límite da $1$ . Ese caso no decide nada: hay convergentes y divergentes que lo cumplen.

Practicar

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Otros subtemas de Sucesiones, series y Taylor

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .