El criterio de la integral

Este criterio conecta series con integrales. Si el término general viene de una función positiva, continua y decreciente, entonces la serie y la integral impropia de esa función hacen lo mismo: o convergen las dos o divergen las dos.

La razón se ve en un dibujo. Los términos de la serie son las áreas de rectángulos de base $1$ y altura $f(n)$ . Esos rectángulos aproximan el área bajo la curva. Si el área total es finita, la suma de los rectángulos también, y al revés.

Las tres condiciones son necesarias. Positiva y decreciente aseguran que los rectángulos se comparen bien con la curva; si la función sube y baja, el argumento se cae.

Es el criterio que demuestra el resultado de las p-series, porque la integral de $\frac{1}{x^{p}}$ se calcula sin problema y ahí se ve exactamente dónde está el corte en $p = 1$ .

Un detalle importante: el criterio dice si la serie converge, pero el valor de la integral no es el valor de la serie. Son dos números distintos, aunque su destino sea el mismo.

\sum_{n=1}^{\infty} f(n) \ \text{y} \ \int_{1}^{\infty} f(x) \, dx \ \text{hacen lo mismo}

Cuándo se usa

Cuando el término general viene de una función positiva, continua y decreciente que se sabe integrar. Verificá las tres condiciones antes de aplicarlo. El valor de la integral no es el valor de la serie: solo decide si converge.

Ejemplo 1

Usar el criterio de la integral para decidir si $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ converge.

Verificamos las condiciones. La función $\frac{1}{x^{2}}$ es positiva, continua y decreciente en $[1, \infty)$ .
Planteamos la integral impropia de $1$ a infinito.
Calculamos la primitiva. Es $-\frac{1}{x}$ .
Evaluamos. En el infinito tiende a $0$ y en $1$ vale $-1$ , así que la integral da $1$ .
Como la integral es finita, la serie converge. Su valor no es $1$ : es $\frac{\pi^{2}}{6}$ .
Respuesta: converge

Ejemplo 2

Usar el criterio de la integral para decidir si $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ converge.

Verificamos las condiciones. La función $\frac{1}{x}$ es positiva, continua y decreciente en $[1, \infty)$ .
Calculamos la primitiva. Es $\ln x$ .
Evaluamos en el infinito. El logaritmo crece sin tope, así que la integral diverge.
Concluimos. Si la integral diverge, la serie también.
Respuesta: diverge

Error típico

Dar el valor de la integral como si fuera la suma de la serie. El criterio solo decide convergencia.

Practicar

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