El polinomio de Taylor

La idea de Taylor es reemplazar una función complicada por un polinomio que se le parezca cerca de un punto. Los polinomios son fáciles de evaluar y de derivar, así que sirven para calcular valores aproximados y para estudiar el comportamiento local.

El polinomio se construye pidiendo algo muy concreto: que en el punto elegido coincida con la función en el valor, en la derivada primera, en la segunda, y así hasta el orden que se quiera. Cuantas más derivadas se hagan coincidir, más se pega el polinomio a la curva.

El polinomio de orden $1$ es la recta tangente, que ya conocés. Taylor es su generalización: la de orden $2$ es una parábola que además copia la concavidad, la de orden $3$ copia también cómo cambia esa concavidad.

El punto donde se centra el desarrollo importa mucho. La aproximación es buena cerca de ese punto y se degrada al alejarse. Por eso se elige un centro donde la función sea fácil de evaluar y que esté cerca del valor que se quiere aproximar.

Cuando el centro es cero el polinomio se llama de Maclaurin, pero es lo mismo.

P_{n}(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide aproximar una función cerca de un punto. Calculá las derivadas hasta el orden pedido, evalualas en el centro y dividí cada una por su factorial. No te olvides del factorial.

Ejemplo 1

Hallar el polinomio de Taylor de orden $2$ de $f(x) = e^{x}$ centrado en $0$ .

Calculamos las derivadas. Todas las derivadas de $e^{x}$ son $e^{x}$ .
Evaluamos en el centro. En $x = 0$ todas valen $1$ .
Armamos el polinomio. Queda $1 + \frac{1}{1!}x + \frac{1}{2!}x^{2}$ .
Simplificamos los factoriales.
Respuesta: $P_{2}(x) = 1 + x + \frac{x^{2}}{2}$

Ejemplo 2

Hallar el polinomio de Taylor de orden $3$ de $f(x) = \operatorname{sen} x$ centrado en $0$ .

Calculamos las derivadas. Son $\cos x$ , $-\operatorname{sen} x$ y $-\cos x$ .
Evaluamos en cero. La función da $0$ , y las derivadas dan $1$ , $0$ y $-1$ .
Armamos el polinomio. Los términos de orden par se van porque su coeficiente es cero.
Queda $x - \frac{x^{3}}{3!}$ , y $3!$ vale $6$ .
Respuesta: $P_{3}(x) = x - \frac{x^{3}}{6}$

Error típico

Olvidar dividir por el factorial. Sin ese denominador las derivadas del polinomio no coinciden con las de la función.

Practicar

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