El criterio de la raíz

El criterio de la raíz también compara la serie con una geométrica, pero por otro camino: en vez de mirar el cociente entre términos consecutivos, le saca la raíz $n$ -ésima al término general.

La lógica es la misma que antes. Si ese límite es menor que $1$ la serie converge, si es mayor diverge, y si da exactamente $1$ el criterio no decide.

La ventaja aparece cuando el término general es una potencia de exponente $n$ . En esos casos la raíz cancela el exponente entero y lo que queda es directísimo, mientras que el cociente obligaría a manipular bastante más.

Hay dos límites que conviene tener a mano porque aparecen todo el tiempo al aplicar este criterio. La raíz $n$ -ésima de $n$ tiende a $1$ , y la raíz $n$ -ésima de cualquier constante positiva también tiende a $1$ . Con eso se resuelve la mayoría de los casos.

Cuando los dos criterios se pueden aplicar dan el mismo resultado, así que la elección es de comodidad: raíz si hay exponentes $n$ , cociente si hay factoriales.

L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_{n}|}

Cuándo se usa

Cuando el término general entero está elevado a la potencia de la posición. La raíz cancela el exponente de una. Tené a mano que la raíz enésima de la posición y la de cualquier constante tienden a uno.

Ejemplo 1

Decidir si $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n}{2n+1}\right)^{n}$ converge.

Sacamos la raíz $n$ -ésima. El exponente $n$ se cancela y queda $\frac{n}{2n+1}$ .
Tomamos el límite. Dividiendo por $n$ da $\frac{1}{2}$ .
Comparamos con $1$ . Como $\frac{1}{2} < 1$ , converge.
Respuesta: converge

Ejemplo 2

Decidir si $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{n^{n}}$ converge.

Sacamos la raíz $n$ -ésima de numerador y denominador. Queda $\frac{2}{n}$ .
Tomamos el límite. Da $0$ .
Comparamos con $1$ . Como $0 < 1$ , converge.
Interpretamos. El denominador crece muchísimo más rápido que el numerador.
Respuesta: converge

Error típico

Olvidar que $\sqrt[n]{n}$ tiende a $1$ y no a infinito. Lo mismo pasa con la raíz $n$ -ésima de cualquier constante.

Practicar

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Otros subtemas de Sucesiones, series y Taylor

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