Método

Qué es una serie

Una serie es lo que se obtiene al sumar todos los términos de una sucesión. Como los términos son infinitos, esa suma no se puede hacer de a una: hay que definir qué significa.

La idea es sumar de a poco. Se suma el primer término, después los dos primeros, después los tres primeros, y así. Cada una de esas sumas parciales es un número concreto, y todas juntas forman una sucesión nueva: la sucesión de sumas parciales.

La serie converge cuando esa sucesión de sumas parciales converge, y en ese caso su valor es el límite. Si las sumas parciales se van al infinito o no se acercan a nada, la serie diverge.

Esto reduce un problema nuevo a uno viejo: estudiar una serie es estudiar el límite de una sucesión.

Hay una condición necesaria muy usada. Para que la serie converja, los términos tienen que tender a cero. Si no lo hacen, la serie diverge seguro. Pero cuidado, porque la vuelta no vale: hay series cuyos términos tienden a cero y aun así divergen. Tender a cero es obligatorio, no suficiente.

∑n=1∞an=lim⁡N→∞∑n=1Nan\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^{N} a_{n}
Cuándo se usa

Antes de aplicar cualquier criterio, mirá si el término general tiende a cero. Si no lo hace, la serie diverge y terminaste en un renglón. Si tiende a cero, todavía no sabés nada y hay que seguir.

Ejemplo 1

Calcular las primeras cuatro sumas parciales de ∑12n\sum \frac{1}{2^{n}} desde n=1n = 1.

Sumamos el primer término. S1=12S_{1} = \frac{1}{2}.
Le agregamos el segundo. S2=12+14=34S_{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}.
Seguimos. S3=78S_{3} = \frac{7}{8} y S4=1516S_{4} = \frac{15}{16}.
Miramos el patrón. Cada suma se acerca más a 11 sin pasarlo.
Respuesta: 12,34,78,1516\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{7}{8}, \frac{15}{16}

Ejemplo 2

Decidir si ∑n=1∞nn+1\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n+1} converge.

Miramos el término general. Calculamos lim⁡n→∞nn+1\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1}.
Ese límite vale 11, no cero.
Aplicamos la condición necesaria. Si el término no tiende a cero, la serie no puede converger: se le sigue sumando casi 11 para siempre.
Respuesta: diverge

Error típico

Concluir que la serie converge porque los términos tienden a cero. Eso es necesario pero no alcanza: la armónica lo cumple y diverge igual.

Practicar

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Otros subtemas de Sucesiones, series y Taylor

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