Método

Ejercicios: Qué es una serie

∑n=1∞an=lim⁡N→∞∑n=1Nan\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^{N} a_{n}

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Calculá la suma de la serie ∑n=1∞(1n+3−1n+4)\sum_{n = 1}^{\infty} \left(\dfrac{1}{n + 3} - \dfrac{1}{n + 4}\right) mirando las sumas parciales.

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1. Escribimos la suma parcial. SN=∑n=1N(1n+3−1n+4)S_{N} = \sum_{n = 1}^{N} \left(\dfrac{1}{n + 3} - \dfrac{1}{n + 4}\right)

2. Escribimos los primeros términos. (14−15)+(15−16)+…\left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{5}\right) + \left(\dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{6}\right) + \ldots: cada término cancela parte del siguiente.

3. Simplificamos. Sobreviven solo el primero y el último: SN=14−1N+4S_{N} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{N + 4}.

4. Tomamos límite. Cuando N→∞N \to \infty el segundo término tiende a cero, así que la serie converge y su suma es 14\dfrac{1}{4}. La suma de una serie es el límite de las sumas parciales, no una suma común.

Respuesta: converge, con suma 14\dfrac{1}{4}

2. Decidí si la serie ∑n=1∞5n+14n\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{5n + 1}{4n} converge.

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1. Aplicamos la condición necesaria. Para que una serie converja, su término general tiene que tender a cero.

2. Calculamos ese límite. lim⁡n→∞5n+14n=54\lim_{n \to \infty} \dfrac{5n + 1}{4n} = \dfrac{5}{4}

3. Comparamos con cero. 54≠0\dfrac{5}{4} \neq 0, así que la condición necesaria no se cumple.

4. Concluimos. La serie diverge. Sumar infinitas veces algo que se parece a un número fijo distinto de cero no puede dar un total finito.

Respuesta: diverge, porque el término general tiende a 54\dfrac{5}{4} y no a cero

3. Explicá la diferencia entre la sucesión an=15na_{n} = \dfrac{1}{5 n} y la serie ∑n=1∞15n\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{5n}.

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1. Describimos la sucesión. Es la lista de términos 15\dfrac{1}{5}, 110\dfrac{1}{10}, 115\dfrac{1}{15}, ..., que tiende a cero.

2. Describimos la serie. Es el resultado de sumar todos esos términos, o sea el límite de las sumas parciales.

3. Marcamos que son cosas distintas. Que la sucesión tienda a cero es apenas la condición necesaria para que la serie converja, no la garantía.

4. Aplicamos al caso. Esta serie es la armónica multiplicada por 15\dfrac{1}{5}, y diverge, aunque sus términos tiendan a cero.

Respuesta: la sucesión tiende a cero pero la serie diverge: son objetos distintos

4. Escribí la suma parcial SNS_{N} de ∑n=0∞(17)n\sum_{n = 0}^{\infty} \left(\dfrac{1}{7}\right)^{n} y calculá el límite.

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1. Usamos la fórmula de la suma parcial geométrica. SN=1−rN+11−rS_{N} = \dfrac{1 - r^{N+1}}{1 - r} con r=17r = \dfrac{1}{7}.

2. Reemplazamos. SN=1−(17)N+167S_{N} = \dfrac{1 - \left(\dfrac{1}{7}\right)^{N+1}}{\dfrac{6}{7}}

3. Tomamos límite. Como ∣r∣<1|r| < 1, rN+1→0r^{N+1} \to 0.

4. Escribimos la suma. S=167=76S = \dfrac{1}{\dfrac{6}{7}} = \dfrac{7}{6}. Definir la suma como límite de las parciales es lo que permite sumar infinitos términos.

Respuesta: SN=1−(17)N+167S_{N} = \dfrac{1 - \left(\dfrac{1}{7}\right)^{N+1}}{\dfrac{6}{7}} y la suma es 76\dfrac{7}{6}

5. Calculá la suma de la serie ∑n=1∞(1n+2−1n+3)\sum_{n = 1}^{\infty} \left(\dfrac{1}{n + 2} - \dfrac{1}{n + 3}\right) mirando las sumas parciales.

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1. Escribimos la suma parcial. SN=∑n=1N(1n+2−1n+3)S_{N} = \sum_{n = 1}^{N} \left(\dfrac{1}{n + 2} - \dfrac{1}{n + 3}\right)

2. Escribimos los primeros términos. (13−14)+(14−15)+…\left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}\right) + \left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{5}\right) + \ldots: cada término cancela parte del siguiente.

3. Simplificamos. Sobreviven solo el primero y el último: SN=13−1N+3S_{N} = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{N + 3}.

4. Tomamos límite. Cuando N→∞N \to \infty el segundo término tiende a cero, así que la serie converge y su suma es 13\dfrac{1}{3}. La suma de una serie es el límite de las sumas parciales, no una suma común.

Respuesta: converge, con suma 13\dfrac{1}{3}

6. Decidí si la serie ∑n=1∞6n+15n\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{6n + 1}{5n} converge.

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1. Aplicamos la condición necesaria. Para que una serie converja, su término general tiene que tender a cero.

2. Calculamos ese límite. lim⁡n→∞6n+15n=65\lim_{n \to \infty} \dfrac{6n + 1}{5n} = \dfrac{6}{5}

3. Comparamos con cero. 65≠0\dfrac{6}{5} \neq 0, así que la condición necesaria no se cumple.

4. Concluimos. La serie diverge. Sumar infinitas veces algo que se parece a un número fijo distinto de cero no puede dar un total finito.

Respuesta: diverge, porque el término general tiende a 65\dfrac{6}{5} y no a cero

7. Explicá la diferencia entre la sucesión an=17na_{n} = \dfrac{1}{7 n} y la serie ∑n=1∞17n\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{7n}.

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1. Describimos la sucesión. Es la lista de términos 17\dfrac{1}{7}, 114\dfrac{1}{14}, 121\dfrac{1}{21}, ..., que tiende a cero.

2. Describimos la serie. Es el resultado de sumar todos esos términos, o sea el límite de las sumas parciales.

3. Marcamos que son cosas distintas. Que la sucesión tienda a cero es apenas la condición necesaria para que la serie converja, no la garantía.

4. Aplicamos al caso. Esta serie es la armónica multiplicada por 17\dfrac{1}{7}, y diverge, aunque sus términos tiendan a cero.

Respuesta: la sucesión tiende a cero pero la serie diverge: son objetos distintos

8. Escribí la suma parcial SNS_{N} de ∑n=0∞(12)n\sum_{n = 0}^{\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n} y calculá el límite.

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1. Usamos la fórmula de la suma parcial geométrica. SN=1−rN+11−rS_{N} = \dfrac{1 - r^{N+1}}{1 - r} con r=12r = \dfrac{1}{2}.

2. Reemplazamos. SN=1−(12)N+112S_{N} = \dfrac{1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^{N+1}}{\dfrac{1}{2}}

3. Tomamos límite. Como ∣r∣<1|r| < 1, rN+1→0r^{N+1} \to 0.

4. Escribimos la suma. S=112=2S = \dfrac{1}{\dfrac{1}{2}} = 2. Definir la suma como límite de las parciales es lo que permite sumar infinitos términos.

Respuesta: SN=1−(12)N+112S_{N} = \dfrac{1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^{N+1}}{\dfrac{1}{2}} y la suma es 22

9. Calculá la suma de la serie ∑n=1∞(1n+5−1n+6)\sum_{n = 1}^{\infty} \left(\dfrac{1}{n + 5} - \dfrac{1}{n + 6}\right) mirando las sumas parciales.

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1. Escribimos la suma parcial. SN=∑n=1N(1n+5−1n+6)S_{N} = \sum_{n = 1}^{N} \left(\dfrac{1}{n + 5} - \dfrac{1}{n + 6}\right)

2. Escribimos los primeros términos. (16−17)+(17−18)+…\left(\dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{7}\right) + \left(\dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{8}\right) + \ldots: cada término cancela parte del siguiente.

3. Simplificamos. Sobreviven solo el primero y el último: SN=16−1N+6S_{N} = \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{N + 6}.

4. Tomamos límite. Cuando N→∞N \to \infty el segundo término tiende a cero, así que la serie converge y su suma es 16\dfrac{1}{6}. La suma de una serie es el límite de las sumas parciales, no una suma común.

Respuesta: converge, con suma 16\dfrac{1}{6}

10. Decidí si la serie ∑n=1∞7n+13n\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{7n + 1}{3n} converge.

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1. Aplicamos la condición necesaria. Para que una serie converja, su término general tiene que tender a cero.

2. Calculamos ese límite. lim⁡n→∞7n+13n=73\lim_{n \to \infty} \dfrac{7n + 1}{3n} = \dfrac{7}{3}

3. Comparamos con cero. 73≠0\dfrac{7}{3} \neq 0, así que la condición necesaria no se cumple.

4. Concluimos. La serie diverge. Sumar infinitas veces algo que se parece a un número fijo distinto de cero no puede dar un total finito.

Respuesta: diverge, porque el término general tiende a 73\dfrac{7}{3} y no a cero

11. Explicá la diferencia entre la sucesión an=12na_{n} = \dfrac{1}{2 n} y la serie ∑n=1∞12n\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{2n}.

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1. Describimos la sucesión. Es la lista de términos 12\dfrac{1}{2}, 14\dfrac{1}{4}, 16\dfrac{1}{6}, ..., que tiende a cero.

2. Describimos la serie. Es el resultado de sumar todos esos términos, o sea el límite de las sumas parciales.

3. Marcamos que son cosas distintas. Que la sucesión tienda a cero es apenas la condición necesaria para que la serie converja, no la garantía.

4. Aplicamos al caso. Esta serie es la armónica multiplicada por 12\dfrac{1}{2}, y diverge, aunque sus términos tiendan a cero.

Respuesta: la sucesión tiende a cero pero la serie diverge: son objetos distintos

12. Escribí la suma parcial SNS_{N} de ∑n=0∞(13)n\sum_{n = 0}^{\infty} \left(\dfrac{1}{3}\right)^{n} y calculá el límite.

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1. Usamos la fórmula de la suma parcial geométrica. SN=1−rN+11−rS_{N} = \dfrac{1 - r^{N+1}}{1 - r} con r=13r = \dfrac{1}{3}.

2. Reemplazamos. SN=1−(13)N+123S_{N} = \dfrac{1 - \left(\dfrac{1}{3}\right)^{N+1}}{\dfrac{2}{3}}

3. Tomamos límite. Como ∣r∣<1|r| < 1, rN+1→0r^{N+1} \to 0.

4. Escribimos la suma. S=123=32S = \dfrac{1}{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{3}{2}. Definir la suma como límite de las parciales es lo que permite sumar infinitos términos.

Respuesta: SN=1−(13)N+123S_{N} = \dfrac{1 - \left(\dfrac{1}{3}\right)^{N+1}}{\dfrac{2}{3}} y la suma es 32\dfrac{3}{2}

Integradores de Sucesiones, series y Taylor: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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