Método

Ejercicios: La serie geométrica

∑n=0∞arn=a1−rsi ∣r∣<1\sum_{n=0}^{\infty} a r^{n} = \frac{a}{1-r} \quad \text{si } |r| < 1

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Calculá ∑n=0∞7(12)n\sum_{n = 0}^{\infty} 7\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}.

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1. Identificamos los datos. El primer término es a=7a = 7 y la razón es r=12r = \dfrac{1}{2}.

2. Chequeamos la condición. ∣r∣=12<1|r| = \dfrac{1}{2} < 1, así que la serie converge y se puede usar la fórmula.

3. Aplicamos la fórmula. S=a1−r=71−12S = \dfrac{a}{1 - r} = \dfrac{7}{1 - \dfrac{1}{2}}

4. Calculamos. =712=14 = \dfrac{7}{\dfrac{1}{2}} = 14

Respuesta: 1414

2. Decidí si ∑n=0∞(62)n\sum_{n = 0}^{\infty} \left(\dfrac{6}{2}\right)^{n} converge.

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1. Identificamos la razón. r=3r = 3

2. Chequeamos la condición. ∣r∣=3≥1|r| = 3 \geq 1, así que la serie no converge.

3. Miramos el término general. rnr^{n} no tiende a cero: crece sin freno, así que ni siquiera se cumple la condición necesaria.

4. Concluimos. La serie diverge. La fórmula a1−r\dfrac{a}{1 - r} no se puede usar acá: aplicarla igual daría un número, y sería falso.

Respuesta: diverge, porque la razón no es menor que 11 en módulo

3. Calculá ∑n=1∞2(15)n\sum_{n = 1}^{\infty} 2\left(\dfrac{1}{5}\right)^{n}, que arranca en n=1n = 1.

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1. Identificamos la razón. r=15r = \dfrac{1}{5}, con ∣r∣<1|r| < 1: converge.

2. Ubicamos el primer término. Como la serie arranca en n=1n = 1, el primer término no es 22 sino 2⋅15=252 \cdot \dfrac{1}{5} = \dfrac{2}{5}.

3. Aplicamos la fórmula con ese primer término. S=251−15S = \dfrac{\dfrac{2}{5}}{1 - \dfrac{1}{5}}

4. Calculamos. =12 = \dfrac{1}{2}. La fórmula usa el primer término que efectivamente aparece: mirar dónde arranca el índice es el paso que más se saltea.

Respuesta: 12\dfrac{1}{2}

4. Escribí el decimal periódico 0,2‾0{,}\overline{2} como serie geométrica y calculá su valor exacto.

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1. Escribimos el número como suma. 0,222…=210+2100+21000+…0{,}222\ldots = \dfrac{2}{10} + \dfrac{2}{100} + \dfrac{2}{1000} + \ldots

2. Identificamos los datos. Es geométrica con primer término 210\dfrac{2}{10} y razón r=110r = \dfrac{1}{10}.

3. Aplicamos la fórmula. S=2/101−1/10=2/109/10S = \dfrac{2/10}{1 - 1/10} = \dfrac{2/10}{9/10}

4. Simplificamos. =29 = \dfrac{2}{9}. Todo decimal periódico es una serie geométrica, y por eso siempre se puede escribir como fracción.

Respuesta: 29\dfrac{2}{9}

5. Calculá ∑n=0∞4(13)n\sum_{n = 0}^{\infty} 4\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}.

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1. Identificamos los datos. El primer término es a=4a = 4 y la razón es r=13r = \dfrac{1}{3}.

2. Chequeamos la condición. ∣r∣=13<1|r| = \dfrac{1}{3} < 1, así que la serie converge y se puede usar la fórmula.

3. Aplicamos la fórmula. S=a1−r=41−13S = \dfrac{a}{1 - r} = \dfrac{4}{1 - \dfrac{1}{3}}

4. Calculamos. =423=6 = \dfrac{4}{\dfrac{2}{3}} = 6

Respuesta: 66

6. Decidí si ∑n=0∞(42)n\sum_{n = 0}^{\infty} \left(\dfrac{4}{2}\right)^{n} converge.

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1. Identificamos la razón. r=2r = 2

2. Chequeamos la condición. ∣r∣=2≥1|r| = 2 \geq 1, así que la serie no converge.

3. Miramos el término general. rnr^{n} no tiende a cero: crece sin freno, así que ni siquiera se cumple la condición necesaria.

4. Concluimos. La serie diverge. La fórmula a1−r\dfrac{a}{1 - r} no se puede usar acá: aplicarla igual daría un número, y sería falso.

Respuesta: diverge, porque la razón no es menor que 11 en módulo

7. Calculá ∑n=1∞6(15)n\sum_{n = 1}^{\infty} 6\left(\dfrac{1}{5}\right)^{n}, que arranca en n=1n = 1.

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1. Identificamos la razón. r=15r = \dfrac{1}{5}, con ∣r∣<1|r| < 1: converge.

2. Ubicamos el primer término. Como la serie arranca en n=1n = 1, el primer término no es 66 sino 6⋅15=656 \cdot \dfrac{1}{5} = \dfrac{6}{5}.

3. Aplicamos la fórmula con ese primer término. S=651−15S = \dfrac{\dfrac{6}{5}}{1 - \dfrac{1}{5}}

4. Calculamos. =32 = \dfrac{3}{2}. La fórmula usa el primer término que efectivamente aparece: mirar dónde arranca el índice es el paso que más se saltea.

Respuesta: 32\dfrac{3}{2}

8. Escribí el decimal periódico 0,3‾0{,}\overline{3} como serie geométrica y calculá su valor exacto.

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1. Escribimos el número como suma. 0,333…=310+3100+31000+…0{,}333\ldots = \dfrac{3}{10} + \dfrac{3}{100} + \dfrac{3}{1000} + \ldots

2. Identificamos los datos. Es geométrica con primer término 310\dfrac{3}{10} y razón r=110r = \dfrac{1}{10}.

3. Aplicamos la fórmula. S=3/101−1/10=3/109/10S = \dfrac{3/10}{1 - 1/10} = \dfrac{3/10}{9/10}

4. Simplificamos. =13 = \dfrac{1}{3}. Todo decimal periódico es una serie geométrica, y por eso siempre se puede escribir como fracción.

Respuesta: 13\dfrac{1}{3}

9. Calculá ∑n=0∞6(15)n\sum_{n = 0}^{\infty} 6\left(\dfrac{1}{5}\right)^{n}.

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1. Identificamos los datos. El primer término es a=6a = 6 y la razón es r=15r = \dfrac{1}{5}.

2. Chequeamos la condición. ∣r∣=15<1|r| = \dfrac{1}{5} < 1, así que la serie converge y se puede usar la fórmula.

3. Aplicamos la fórmula. S=a1−r=61−15S = \dfrac{a}{1 - r} = \dfrac{6}{1 - \dfrac{1}{5}}

4. Calculamos. =645=152 = \dfrac{6}{\dfrac{4}{5}} = \dfrac{15}{2}

Respuesta: 152\dfrac{15}{2}

10. Decidí si ∑n=0∞(52)n\sum_{n = 0}^{\infty} \left(\dfrac{5}{2}\right)^{n} converge.

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1. Identificamos la razón. r=52r = \dfrac{5}{2}

2. Chequeamos la condición. ∣r∣=52≥1|r| = \dfrac{5}{2} \geq 1, así que la serie no converge.

3. Miramos el término general. rnr^{n} no tiende a cero: crece sin freno, así que ni siquiera se cumple la condición necesaria.

4. Concluimos. La serie diverge. La fórmula a1−r\dfrac{a}{1 - r} no se puede usar acá: aplicarla igual daría un número, y sería falso.

Respuesta: diverge, porque la razón no es menor que 11 en módulo

11. Calculá ∑n=1∞3(12)n\sum_{n = 1}^{\infty} 3\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}, que arranca en n=1n = 1.

Ver solución

1. Identificamos la razón. r=12r = \dfrac{1}{2}, con ∣r∣<1|r| < 1: converge.

2. Ubicamos el primer término. Como la serie arranca en n=1n = 1, el primer término no es 33 sino 3⋅12=323 \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}.

3. Aplicamos la fórmula con ese primer término. S=321−12S = \dfrac{\dfrac{3}{2}}{1 - \dfrac{1}{2}}

4. Calculamos. =3 = 3. La fórmula usa el primer término que efectivamente aparece: mirar dónde arranca el índice es el paso que más se saltea.

Respuesta: 33

12. Escribí el decimal periódico 0,5‾0{,}\overline{5} como serie geométrica y calculá su valor exacto.

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1. Escribimos el número como suma. 0,555…=510+5100+51000+…0{,}555\ldots = \dfrac{5}{10} + \dfrac{5}{100} + \dfrac{5}{1000} + \ldots

2. Identificamos los datos. Es geométrica con primer término 510\dfrac{5}{10} y razón r=110r = \dfrac{1}{10}.

3. Aplicamos la fórmula. S=5/101−1/10=5/109/10S = \dfrac{5/10}{1 - 1/10} = \dfrac{5/10}{9/10}

4. Simplificamos. =59 = \dfrac{5}{9}. Todo decimal periódico es una serie geométrica, y por eso siempre se puede escribir como fracción.

Respuesta: 59\dfrac{5}{9}

Integradores de Sucesiones, series y Taylor: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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