Ejercicios: La armónica y las p-series

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}} \ \text{converge si } p > 1

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Decidí si $\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{4}}$ converge.

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1. Reconocemos el tipo. Es una $p$ -serie con $p = 4$ .

2. Recordamos el criterio. Una $p$ -serie converge si $p > 1$ y diverge si $p \leq 1$ .

3. Comparamos. $4 > 1$ , así que converge.

4. Interpretamos. Los términos se achican lo suficientemente rápido como para que la suma total sea finita, aunque el criterio no diga cuánto vale.

Respuesta: converge

2. Mostrá que $\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{6n}$ diverge, aunque su término general tienda a cero.

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1. Chequeamos la condición necesaria. $\dfrac{1}{6n} \to 0$ , así que la condición se cumple y no permite descartar nada.

2. Sacamos la constante. $\sum \dfrac{1}{6n} = \dfrac{1}{6}\sum \dfrac{1}{n}$ , o sea la armónica multiplicada por una constante.

3. Recordamos qué hace la armónica. Es la $p$ -serie con $p = 1$ , que es el caso frontera: diverge.

4. Concluimos. Multiplicar por $\dfrac{1}{6}$ no cambia el carácter, así que la serie diverge. Que los términos tiendan a cero es necesario pero no suficiente.

Respuesta: diverge: es la armónica multiplicada por una constante

3. Decidí cuál de estas dos series converge: $\sum \dfrac{1}{n^{2}}$ y $\sum \dfrac{1}{n^{\dfrac{1}{2}}}$ .

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1. Identificamos los exponentes. La primera tiene $p = 2$ y la segunda $p = \dfrac{1}{2}$ .

2. Aplicamos el criterio a la primera. $2 > 1$ , así que converge.

3. Aplicamos el criterio a la segunda. $\dfrac{1}{2} \leq 1$ , así que diverge.

4. Interpretamos la diferencia. Con exponente más chico los términos se achican más despacio, y esa lentitud alcanza para que la suma no se estabilice.

Respuesta: converge la de exponente $2$ y diverge la de exponente $\dfrac{1}{2}$

4. Decidí si $\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{(n + 7)^{2}}$ converge.

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1. Comparamos con una $p$ -serie. Es casi $\sum \dfrac{1}{n^{2}}$ , con los índices corridos $7$ lugares.

2. Justificamos que el corrimiento no importa. Sumar los primeros $7$ términos o no sumarlos cambia el valor de la suma, pero no si esa suma es finita o no.

3. Aplicamos el criterio. Como $p = 2 > 1$ , la $p$ -serie converge.

4. Concluimos. La serie dada converge. El carácter de una serie no depende de sus primeros términos, solo de la cola.

Respuesta: converge

5. Decidí si $\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{2}}$ converge.

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1. Reconocemos el tipo. Es una $p$ -serie con $p = 2$ .

2. Recordamos el criterio. Una $p$ -serie converge si $p > 1$ y diverge si $p \leq 1$ .

3. Comparamos. $2 > 1$ , así que converge.

4. Interpretamos. Los términos se achican lo suficientemente rápido como para que la suma total sea finita, aunque el criterio no diga cuánto vale.

Respuesta: converge

6. Mostrá que $\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{7n}$ diverge, aunque su término general tienda a cero.

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1. Chequeamos la condición necesaria. $\dfrac{1}{7n} \to 0$ , así que la condición se cumple y no permite descartar nada.

2. Sacamos la constante. $\sum \dfrac{1}{7n} = \dfrac{1}{7}\sum \dfrac{1}{n}$ , o sea la armónica multiplicada por una constante.

3. Recordamos qué hace la armónica. Es la $p$ -serie con $p = 1$ , que es el caso frontera: diverge.

4. Concluimos. Multiplicar por $\dfrac{1}{7}$ no cambia el carácter, así que la serie diverge. Que los términos tiendan a cero es necesario pero no suficiente.

Respuesta: diverge: es la armónica multiplicada por una constante

7. Decidí cuál de estas dos series converge: $\sum \dfrac{1}{n^{2}}$ y $\sum \dfrac{1}{n^{1}}$ .

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1. Identificamos los exponentes. La primera tiene $p = 2$ y la segunda $p = 1$ .

2. Aplicamos el criterio a la primera. $2 > 1$ , así que converge.

3. Aplicamos el criterio a la segunda. $1 \leq 1$ , así que diverge.

4. Interpretamos la diferencia. Con exponente más chico los términos se achican más despacio, y esa lentitud alcanza para que la suma no se estabilice.

Respuesta: converge la de exponente $2$ y diverge la de exponente $1$

8. Decidí si $\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{(n + 4)^{4}}$ converge.

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1. Comparamos con una $p$ -serie. Es casi $\sum \dfrac{1}{n^{4}}$ , con los índices corridos $4$ lugares.

2. Justificamos que el corrimiento no importa. Sumar los primeros $4$ términos o no sumarlos cambia el valor de la suma, pero no si esa suma es finita o no.

3. Aplicamos el criterio. Como $p = 4 > 1$ , la $p$ -serie converge.

4. Concluimos. La serie dada converge. El carácter de una serie no depende de sus primeros términos, solo de la cola.

Respuesta: converge

9. Decidí si $\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{7}}$ converge.

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1. Reconocemos el tipo. Es una $p$ -serie con $p = 7$ .

2. Recordamos el criterio. Una $p$ -serie converge si $p > 1$ y diverge si $p \leq 1$ .

3. Comparamos. $7 > 1$ , así que converge.

4. Interpretamos. Los términos se achican lo suficientemente rápido como para que la suma total sea finita, aunque el criterio no diga cuánto vale.

Respuesta: converge

10. Mostrá que $\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{5n}$ diverge, aunque su término general tienda a cero.

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1. Chequeamos la condición necesaria. $\dfrac{1}{5n} \to 0$ , así que la condición se cumple y no permite descartar nada.

2. Sacamos la constante. $\sum \dfrac{1}{5n} = \dfrac{1}{5}\sum \dfrac{1}{n}$ , o sea la armónica multiplicada por una constante.

3. Recordamos qué hace la armónica. Es la $p$ -serie con $p = 1$ , que es el caso frontera: diverge.

4. Concluimos. Multiplicar por $\dfrac{1}{5}$ no cambia el carácter, así que la serie diverge. Que los términos tiendan a cero es necesario pero no suficiente.

Respuesta: diverge: es la armónica multiplicada por una constante

11. Decidí cuál de estas dos series converge: $\sum \dfrac{1}{n^{5}}$ y $\sum \dfrac{1}{n^{\dfrac{1}{3}}}$ .

Ver solución

1. Identificamos los exponentes. La primera tiene $p = 5$ y la segunda $p = \dfrac{1}{3}$ .

2. Aplicamos el criterio a la primera. $5 > 1$ , así que converge.

3. Aplicamos el criterio a la segunda. $\dfrac{1}{3} \leq 1$ , así que diverge.

4. Interpretamos la diferencia. Con exponente más chico los términos se achican más despacio, y esa lentitud alcanza para que la suma no se estabilice.

Respuesta: converge la de exponente $5$ y diverge la de exponente $\dfrac{1}{3}$

12. Decidí si $\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{(n + 5)^{3}}$ converge.

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1. Comparamos con una $p$ -serie. Es casi $\sum \dfrac{1}{n^{3}}$ , con los índices corridos $5$ lugares.

2. Justificamos que el corrimiento no importa. Sumar los primeros $5$ términos o no sumarlos cambia el valor de la suma, pero no si esa suma es finita o no.

3. Aplicamos el criterio. Como $p = 3 > 1$ , la $p$ -serie converge.

4. Concluimos. La serie dada converge. El carácter de una serie no depende de sus primeros términos, solo de la cola.

Respuesta: converge

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