La armónica y las p-series

La serie armónica es la suma de todos los inversos de los naturales. Sus términos tienden a cero, así que cumple la condición necesaria, y sin embargo diverge.

Es el ejemplo que hay que tener siempre presente, porque muestra que tender a cero no alcanza. La razón es que los términos se achican demasiado despacio: por lento que crezca la suma, nunca se frena.

Una forma de convencerse es agrupar términos. El tercero y el cuarto suman más que $\frac{1}{2}$ . Los cuatro siguientes también suman más que $\frac{1}{2}$ . Y así indefinidamente: siempre se puede armar otro bloque que aporte medio. Como hay infinitos bloques, la suma no tiene techo.

Las p-series generalizan la idea: son las de la forma $\sum \frac{1}{n^{p}}$ . El resultado es limpio y hay que sabérselo. Convergen si $p > 1$ y divergen si $p \leq 1$ .

La armónica es el caso $p = 1$ , justo en el borde. Con exponente un poquito más grande, como $p = 1{,}01$ , ya converge. Ese salto tan brusco es lo que hace que las p-series sean una referencia tan útil para comparar.

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}} \ \text{converge si } p > 1

Cuándo se usa

Cuando el término general es uno sobre una potencia de la posición. Mirá el exponente: mayor que uno converge, menor o igual diverge. Sirve además como referencia para comparar cualquier otra serie.

Ejemplo 1

Decidir si $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ converge.

Reconocemos la forma. Es una p-serie.
Identificamos el exponente. Acá $p = 2$ .
Aplicamos el criterio. Como $2 > 1$ , la serie converge.
Respuesta: converge

Ejemplo 2

Decidir si $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$ converge.

Escribimos la raíz como potencia. Es $\frac{1}{n^{1/2}}$ .
Identificamos el exponente. Acá $p = \frac{1}{2}$ .
Aplicamos el criterio. Como $\frac{1}{2} \leq 1$ , la serie diverge.
Interpretamos. Los términos se achican todavía más despacio que en la armónica, así que con más razón la suma no se frena.
Respuesta: diverge

Error típico

Creer que la armónica converge porque sus términos tienden a cero. Es el contraejemplo clásico de que esa condición no alcanza.

Practicar

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Otros subtemas de Sucesiones, series y Taylor

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