Series de potencias y radio de convergencia

Una serie de potencias es una suma infinita de términos con potencias de $x$ . Es como un polinomio que no termina nunca, y la diferencia es importante: un polinomio se puede evaluar en cualquier número, pero una serie de potencias solo converge para algunos valores de $x$ .

El conjunto donde converge tiene siempre la misma forma: es un intervalo centrado en el punto de desarrollo. La mitad de su ancho se llama radio de convergencia.

Dentro de ese intervalo la serie define una función y se puede derivar e integrar término a término, como si fuera un polinomio. Fuera del intervalo la serie no significa nada.

Para calcular el radio se usa el criterio del cociente sobre los términos con la $x$ adentro. Al aplicarlo queda una condición del tipo valor absoluto de $x$ menor que un número, y ese número es el radio.

Los extremos del intervalo son un caso aparte: ahí el criterio del cociente da exactamente uno y no decide, así que hay que estudiarlos uno por uno reemplazando el valor y viendo qué serie numérica queda.

Esto cierra el volumen: el polinomio de Taylor era una aproximación finita, y la serie de Taylor es lo que se obtiene al no cortar nunca, válida dentro de su radio.

\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}(x-a)^{n}, \quad |x-a| < R

Cuándo se usa

Cuando la serie tiene la variable elevada a la posición. Aplicá el criterio del cociente y de la condición que queda leé el radio. Los extremos del intervalo hay que estudiarlos aparte, reemplazando cada uno y viendo qué serie numérica queda.

Ejemplo 1

Hallar el radio de convergencia de $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}$ .

Aplicamos el criterio del cociente. Es $\left| \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{x^{n}} \right|$ .
Simplificamos. Queda $\frac{|x|}{n+1}$ .
Tomamos el límite. Da $0$ para cualquier valor de $x$ .
Interpretamos. Como $0 < 1$ siempre, la serie converge en todos lados.
Respuesta: el radio es infinito

Ejemplo 2

Hallar el radio y el intervalo de convergencia de $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}$ .

Aplicamos el criterio del cociente. Queda $|x| \cdot \frac{n}{n+1}$ , cuyo límite es $|x|$ .
Planteamos la condición de convergencia. Pedimos $|x| < 1$ , así que el radio es $1$ .
Estudiamos el extremo $x = 1$ . Queda la armónica, que diverge.
Estudiamos el extremo $x = -1$ . Queda la armónica alternada, que converge por Leibniz.
Respuesta: radio $1$ , intervalo $[-1, 1)$

Error típico

Dar el intervalo sin revisar los extremos. Cada uno puede converger o no, y hay que reemplazar y estudiar la serie numérica que queda.

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