Ejercicios: Series de potencias y radio de convergencia

\sum_{n=0}^{\infty} c_{n}(x-a)^{n}, \quad |x-a| < R

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Hallá el radio de convergencia de $\sum_{n = 0}^{\infty} 5^{n}x^{n}$ .

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1. Aplicamos el criterio del cociente. $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| = \dfrac{5^{n+1}|x|^{n+1}}{5^{n}|x|^{n}} = 5|x|$

2. Planteamos la condición de convergencia. El criterio pide que el límite sea menor que $1$ : $5|x| < 1$ .

3. Despejamos. $|x| < \dfrac{1}{5}$

4. Escribimos el radio. $R = \dfrac{1}{5}$ . Adentro de ese intervalo la serie converge y afuera diverge; en los extremos hay que analizar aparte.

Respuesta: $R = \dfrac{1}{5}$

2. Hallá el intervalo de convergencia de $\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{x^{n}}{n4^{n}}$ , analizando los extremos.

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1. Aplicamos el criterio del cociente. $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| = \dfrac{n|x|}{(n+1)4} \to \dfrac{|x|}{4}$

2. Hallamos el radio. $\dfrac{|x|}{4} < 1$ da $|x| < 4$ , así que $R = 4$ .

3. Analizamos el extremo derecho. Con $x = 4$ queda $\sum \dfrac{1}{n}$ , la armónica, que diverge.

4. Analizamos el izquierdo. Con $x = -4$ queda $\sum \dfrac{(-1)^{n}}{n}$ , que converge por Leibniz. Los dos extremos se comportan distinto, y por eso hay que estudiarlos uno por uno.

Respuesta: el intervalo es $[-4, 4)$

3. Hallá el radio de convergencia de $\sum_{n = 0}^{\infty} \dfrac{x^{n}}{5^{n}n!}$ .

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1. Aplicamos el criterio del cociente. $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| = \dfrac{|x|}{5(n+1)}$

2. Tomamos límite. Para cualquier $x$ fijo, ese cociente tiende a $0$ cuando $n$ crece.

3. Aplicamos el criterio. $L = 0 < 1$ sea cual sea $x$ , así que la serie converge siempre.

4. Escribimos el radio. $R = +\infty$ , y el intervalo es todo $\mathbb{R}$ . El factorial en el denominador es lo que le da radio infinito, igual que en la serie de $e^{x}$ .

Respuesta: $R = +\infty$ : converge para todo $x$

4. Hallá el intervalo de convergencia de $\sum_{n = 0}^{\infty} 7^{n}(x - 2)^{n}$ .

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1. Identificamos el centro. Las potencias son de $(x - 2)$ , así que la serie está centrada en $x = 2$ y no en cero.

2. Aplicamos el criterio del cociente. $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| = 7|x - 2|$

3. Hallamos el radio. $7|x - 2| < 1$ da $|x - 2| < \dfrac{1}{7}$ , así que $R = \dfrac{1}{7}$ .

4. Escribimos el intervalo. Es $\left(\dfrac{13}{7}, \dfrac{15}{7}\right)$ , centrado en $2$ . En los extremos la serie es geométrica de razón $1$ o $-1$ , y en los dos casos diverge.

Respuesta: $R = \dfrac{1}{7}$ , con intervalo $\left(\dfrac{13}{7}, \dfrac{15}{7}\right)$

5. Hallá el radio de convergencia de $\sum_{n = 0}^{\infty} 4^{n}x^{n}$ .

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1. Aplicamos el criterio del cociente. $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| = \dfrac{4^{n+1}|x|^{n+1}}{4^{n}|x|^{n}} = 4|x|$

2. Planteamos la condición de convergencia. El criterio pide que el límite sea menor que $1$ : $4|x| < 1$ .

3. Despejamos. $|x| < \dfrac{1}{4}$

4. Escribimos el radio. $R = \dfrac{1}{4}$ . Adentro de ese intervalo la serie converge y afuera diverge; en los extremos hay que analizar aparte.

Respuesta: $R = \dfrac{1}{4}$

6. Hallá el intervalo de convergencia de $\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{x^{n}}{n3^{n}}$ , analizando los extremos.

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1. Aplicamos el criterio del cociente. $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| = \dfrac{n|x|}{(n+1)3} \to \dfrac{|x|}{3}$

2. Hallamos el radio. $\dfrac{|x|}{3} < 1$ da $|x| < 3$ , así que $R = 3$ .

3. Analizamos el extremo derecho. Con $x = 3$ queda $\sum \dfrac{1}{n}$ , la armónica, que diverge.

4. Analizamos el izquierdo. Con $x = -3$ queda $\sum \dfrac{(-1)^{n}}{n}$ , que converge por Leibniz. Los dos extremos se comportan distinto, y por eso hay que estudiarlos uno por uno.

Respuesta: el intervalo es $[-3, 3)$

7. Hallá el radio de convergencia de $\sum_{n = 0}^{\infty} \dfrac{x^{n}}{6^{n}n!}$ .

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1. Aplicamos el criterio del cociente. $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| = \dfrac{|x|}{6(n+1)}$

2. Tomamos límite. Para cualquier $x$ fijo, ese cociente tiende a $0$ cuando $n$ crece.

3. Aplicamos el criterio. $L = 0 < 1$ sea cual sea $x$ , así que la serie converge siempre.

4. Escribimos el radio. $R = +\infty$ , y el intervalo es todo $\mathbb{R}$ . El factorial en el denominador es lo que le da radio infinito, igual que en la serie de $e^{x}$ .

Respuesta: $R = +\infty$ : converge para todo $x$

8. Hallá el intervalo de convergencia de $\sum_{n = 0}^{\infty} 5^{n}(x - 2)^{n}$ .

Ver solución

1. Identificamos el centro. Las potencias son de $(x - 2)$ , así que la serie está centrada en $x = 2$ y no en cero.

2. Aplicamos el criterio del cociente. $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| = 5|x - 2|$

3. Hallamos el radio. $5|x - 2| < 1$ da $|x - 2| < \dfrac{1}{5}$ , así que $R = \dfrac{1}{5}$ .

4. Escribimos el intervalo. Es $\left(\dfrac{9}{5}, \dfrac{11}{5}\right)$ , centrado en $2$ . En los extremos la serie es geométrica de razón $1$ o $-1$ , y en los dos casos diverge.

Respuesta: $R = \dfrac{1}{5}$ , con intervalo $\left(\dfrac{9}{5}, \dfrac{11}{5}\right)$

9. Hallá el radio de convergencia de $\sum_{n = 0}^{\infty} 3^{n}x^{n}$ .

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1. Aplicamos el criterio del cociente. $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| = \dfrac{3^{n+1}|x|^{n+1}}{3^{n}|x|^{n}} = 3|x|$

2. Planteamos la condición de convergencia. El criterio pide que el límite sea menor que $1$ : $3|x| < 1$ .

3. Despejamos. $|x| < \dfrac{1}{3}$

4. Escribimos el radio. $R = \dfrac{1}{3}$ . Adentro de ese intervalo la serie converge y afuera diverge; en los extremos hay que analizar aparte.

Respuesta: $R = \dfrac{1}{3}$

10. Hallá el intervalo de convergencia de $\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{x^{n}}{n2^{n}}$ , analizando los extremos.

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1. Aplicamos el criterio del cociente. $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| = \dfrac{n|x|}{(n+1)2} \to \dfrac{|x|}{2}$

2. Hallamos el radio. $\dfrac{|x|}{2} < 1$ da $|x| < 2$ , así que $R = 2$ .

3. Analizamos el extremo derecho. Con $x = 2$ queda $\sum \dfrac{1}{n}$ , la armónica, que diverge.

4. Analizamos el izquierdo. Con $x = -2$ queda $\sum \dfrac{(-1)^{n}}{n}$ , que converge por Leibniz. Los dos extremos se comportan distinto, y por eso hay que estudiarlos uno por uno.

Respuesta: el intervalo es $[-2, 2)$

11. Hallá el radio de convergencia de $\sum_{n = 0}^{\infty} \dfrac{x^{n}}{7^{n}n!}$ .

Ver solución

1. Aplicamos el criterio del cociente. $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| = \dfrac{|x|}{7(n+1)}$

2. Tomamos límite. Para cualquier $x$ fijo, ese cociente tiende a $0$ cuando $n$ crece.

3. Aplicamos el criterio. $L = 0 < 1$ sea cual sea $x$ , así que la serie converge siempre.

4. Escribimos el radio. $R = +\infty$ , y el intervalo es todo $\mathbb{R}$ . El factorial en el denominador es lo que le da radio infinito, igual que en la serie de $e^{x}$ .

Respuesta: $R = +\infty$ : converge para todo $x$

12. Hallá el intervalo de convergencia de $\sum_{n = 0}^{\infty} 3^{n}(x - 1)^{n}$ .

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1. Identificamos el centro. Las potencias son de $(x - 1)$ , así que la serie está centrada en $x = 1$ y no en cero.

2. Aplicamos el criterio del cociente. $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| = 3|x - 1|$

3. Hallamos el radio. $3|x - 1| < 1$ da $|x - 1| < \dfrac{1}{3}$ , así que $R = \dfrac{1}{3}$ .

4. Escribimos el intervalo. Es $\left(\dfrac{2}{3}, \dfrac{4}{3}\right)$ , centrado en $1$ . En los extremos la serie es geométrica de razón $1$ o $-1$ , y en los dos casos diverge.

Respuesta: $R = \dfrac{1}{3}$ , con intervalo $\left(\dfrac{2}{3}, \dfrac{4}{3}\right)$

Integradores de Sucesiones, series y Taylor: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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