Ejercicios: Acotar el error

|R_{n}(x)| \leq \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1} < \varepsilon

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Hallá el orden del polinomio de Taylor de $e^{x}$ en $0$ que garantiza un error menor que $10^{-4}$ para $x$ en $[0, 1]$ .

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1. Escribimos la cota del resto. $|R_{n}(x)| \leq \dfrac{3}{(n+1)!}$ , usando $e^{c} < 3$ y $x \leq 1$ .

2. Planteamos la condición. $\dfrac{3}{(n+1)!} < 10^{-4}$

3. Probamos valores de $n$ . Con $n = 6$ la cota da $0{,}0006$ , todavía grande; con $n = 7$ da $0{,}0001$ .

4. Elegimos el orden. Alcanza con $n = 7$ . El factorial del denominador crece muy rápido, así que unos pocos términos más ganan varios decimales.

Respuesta: $n = 7$

2. Hallá el orden del polinomio de Taylor de $\operatorname{sen} x$ en $0$ que garantiza un error menor que $10^{-5}$ para $|x| \leq 1$ .

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1. Acotamos la derivada. Todas las derivadas del seno son $\pm\operatorname{sen} x$ o $\pm\cos x$ , así que en módulo nunca superan $1$ : $M = 1$ .

2. Escribimos la cota. $|R_{n}(x)| \leq \dfrac{1}{(n+1)!}$ , porque además $|x| \leq 1$ .

3. Planteamos la condición. $\dfrac{1}{(n+1)!} < 10^{-5}$

4. Buscamos el menor $n$ . Con $n = 8$ la cota vale $0$ , que ya alcanza. Que todas las derivadas estén acotadas por $1$ es lo que hace tan cómodo este caso.

Respuesta: $n = 8$

3. Decidí cuántos términos hacen falta para aproximar $\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{n}$ con error menor que $10^{-5}$ .

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1. Verificamos que sea alternada con Leibniz. $b_{n} = \dfrac{1}{n}$ decrece y tiende a cero, así que vale la cota del error.

2. Escribimos la cota. El error de truncar en el término $N$ es menor que $b_{N+1} = \dfrac{1}{N+1}$ .

3. Planteamos la condición. $\dfrac{1}{N+1} < 10^{-5}$ , o sea $N + 1 > 100000$ .

4. Concluimos. Hacen falta $100000$ términos. Comparado con Taylor, donde el factorial hace el trabajo, acá la convergencia es lentísima.

Respuesta: $100000$ términos

4. Acotá el error de aproximar $\cos x$ con su polinomio de orden $8$ en $0$ , para $|x| \leq 1$ .

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1. Escribimos la cota general. $|R_{8}(x)| \leq \dfrac{M}{9!}|x|^{9}$ , con $M$ una cota de la derivada de orden $9$ .

2. Elegimos $M$ . Las derivadas del coseno son senos y cosenos con signo, así que $M = 1$ .

3. Acotamos la potencia. $|x|^{9} \leq 1$

4. Escribimos la cota final. $|R_{8}(x)| \leq \dfrac{1}{362880} \approx 0$

Respuesta: $|R_{8}| \leq \dfrac{1}{362880} \approx 0$

5. Hallá el orden del polinomio de Taylor de $e^{x}$ en $0$ que garantiza un error menor que $10^{-6}$ para $x$ en $[0, 1]$ .

Ver solución

1. Escribimos la cota del resto. $|R_{n}(x)| \leq \dfrac{3}{(n+1)!}$ , usando $e^{c} < 3$ y $x \leq 1$ .

2. Planteamos la condición. $\dfrac{3}{(n+1)!} < 10^{-6}$

3. Probamos valores de $n$ . Con $n = 8$ la cota da $0$ , todavía grande; con $n = 9$ da $0$ .

4. Elegimos el orden. Alcanza con $n = 9$ . El factorial del denominador crece muy rápido, así que unos pocos términos más ganan varios decimales.

Respuesta: $n = 9$

6. Hallá el orden del polinomio de Taylor de $\operatorname{sen} x$ en $0$ que garantiza un error menor que $10^{-4}$ para $|x| \leq 1$ .

Ver solución

1. Acotamos la derivada. Todas las derivadas del seno son $\pm\operatorname{sen} x$ o $\pm\cos x$ , así que en módulo nunca superan $1$ : $M = 1$ .

2. Escribimos la cota. $|R_{n}(x)| \leq \dfrac{1}{(n+1)!}$ , porque además $|x| \leq 1$ .

3. Planteamos la condición. $\dfrac{1}{(n+1)!} < 10^{-4}$

4. Buscamos el menor $n$ . Con $n = 7$ la cota vale $0$ , que ya alcanza. Que todas las derivadas estén acotadas por $1$ es lo que hace tan cómodo este caso.

Respuesta: $n = 7$

7. Decidí cuántos términos hacen falta para aproximar $\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{n}$ con error menor que $10^{-6}$ .

Ver solución

1. Verificamos que sea alternada con Leibniz. $b_{n} = \dfrac{1}{n}$ decrece y tiende a cero, así que vale la cota del error.

2. Escribimos la cota. El error de truncar en el término $N$ es menor que $b_{N+1} = \dfrac{1}{N+1}$ .

3. Planteamos la condición. $\dfrac{1}{N+1} < 10^{-6}$ , o sea $N + 1 > 1000000$ .

4. Concluimos. Hacen falta $1000000$ términos. Comparado con Taylor, donde el factorial hace el trabajo, acá la convergencia es lentísima.

Respuesta: $1000000$ términos

8. Acotá el error de aproximar $\cos x$ con su polinomio de orden $6$ en $0$ , para $|x| \leq 1$ .

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1. Escribimos la cota general. $|R_{6}(x)| \leq \dfrac{M}{7!}|x|^{7}$ , con $M$ una cota de la derivada de orden $7$ .

2. Elegimos $M$ . Las derivadas del coseno son senos y cosenos con signo, así que $M = 1$ .

3. Acotamos la potencia. $|x|^{7} \leq 1$

4. Escribimos la cota final. $|R_{6}(x)| \leq \dfrac{1}{5040} \approx 0{,}0002$

Respuesta: $|R_{6}| \leq \dfrac{1}{5040} \approx 0{,}0002$

9. Hallá el orden del polinomio de Taylor de $e^{x}$ en $0$ que garantiza un error menor que $10^{-7}$ para $x$ en $[0, 1]$ .

Ver solución

1. Escribimos la cota del resto. $|R_{n}(x)| \leq \dfrac{3}{(n+1)!}$ , usando $e^{c} < 3$ y $x \leq 1$ .

2. Planteamos la condición. $\dfrac{3}{(n+1)!} < 10^{-7}$

3. Probamos valores de $n$ . Con $n = 9$ la cota da $0$ , todavía grande; con $n = 10$ da $0$ .

4. Elegimos el orden. Alcanza con $n = 10$ . El factorial del denominador crece muy rápido, así que unos pocos términos más ganan varios decimales.

Respuesta: $n = 10$

10. Hallá el orden del polinomio de Taylor de $\operatorname{sen} x$ en $0$ que garantiza un error menor que $10^{-2}$ para $|x| \leq 1$ .

Ver solución

1. Acotamos la derivada. Todas las derivadas del seno son $\pm\operatorname{sen} x$ o $\pm\cos x$ , así que en módulo nunca superan $1$ : $M = 1$ .

2. Escribimos la cota. $|R_{n}(x)| \leq \dfrac{1}{(n+1)!}$ , porque además $|x| \leq 1$ .

3. Planteamos la condición. $\dfrac{1}{(n+1)!} < 10^{-2}$

4. Buscamos el menor $n$ . Con $n = 4$ la cota vale $0{,}0083$ , que ya alcanza. Que todas las derivadas estén acotadas por $1$ es lo que hace tan cómodo este caso.

Respuesta: $n = 4$

11. Decidí cuántos términos hacen falta para aproximar $\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{n}$ con error menor que $10^{-3}$ .

Ver solución

1. Verificamos que sea alternada con Leibniz. $b_{n} = \dfrac{1}{n}$ decrece y tiende a cero, así que vale la cota del error.

2. Escribimos la cota. El error de truncar en el término $N$ es menor que $b_{N+1} = \dfrac{1}{N+1}$ .

3. Planteamos la condición. $\dfrac{1}{N+1} < 10^{-3}$ , o sea $N + 1 > 1000$ .

4. Concluimos. Hacen falta $1000$ términos. Comparado con Taylor, donde el factorial hace el trabajo, acá la convergencia es lentísima.

Respuesta: $1000$ términos

12. Acotá el error de aproximar $\cos x$ con su polinomio de orden $7$ en $0$ , para $|x| \leq 1$ .

Ver solución

1. Escribimos la cota general. $|R_{7}(x)| \leq \dfrac{M}{8!}|x|^{8}$ , con $M$ una cota de la derivada de orden $8$ .

2. Elegimos $M$ . Las derivadas del coseno son senos y cosenos con signo, así que $M = 1$ .

3. Acotamos la potencia. $|x|^{8} \leq 1$

4. Escribimos la cota final. $|R_{7}(x)| \leq \dfrac{1}{40320} \approx 0$

Respuesta: $|R_{7}| \leq \dfrac{1}{40320} \approx 0$

Integradores de Sucesiones, series y Taylor: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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