Acotar el error

En la práctica el problema no suele ser calcular el error sino el opuesto: dada una precisión que se quiere alcanzar, decidir qué orden de polinomio hace falta.

El procedimiento tiene siempre los mismos pasos. Se escribe la cota del resto en función del orden, se plantea que esa cota sea menor que la precisión pedida, y se despeja el orden. Como el orden es un número entero, se redondea para arriba.

El paso que más se traba es acotar la derivada. Para el seno y el coseno es directo porque nunca superan uno en valor absoluto. Para la exponencial hay que usar que es creciente y evaluarla en el extremo derecho del intervalo. Para polinomios y raíces conviene mirar dónde la derivada se hace más grande dentro del intervalo.

Casi siempre la desigualdad que queda no se puede despejar de forma exacta, porque mezcla un factorial con una potencia. Se resuelve probando valores: se calcula la cota para varios órdenes hasta encontrar el primero que cumple.

Conviene ser generoso al acotar. Si la cota es más grande que el error real, la conclusión sigue siendo válida: solo se usan más términos de los estrictamente necesarios.

|R_{n}(x)| \leq \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1} < \varepsilon

Cuándo se usa

Cuando piden qué orden de polinomio hace falta para cierta precisión. Escribí la cota en función del orden y probá valores hasta encontrar el primero que cumple. Redondeá siempre para arriba.

Ejemplo 1

Hallar el orden necesario para aproximar $\operatorname{sen}(0{,}5)$ con error menor que $0{,}001$ .

Escribimos la cota. Todas las derivadas del seno están acotadas por $1$ , así que el resto es menor que $\frac{(0{,}5)^{n+1}}{(n+1)!}$ .
Probamos con $n = 2$ . Da $\frac{0{,}125}{6}$ , algo más de $0{,}02$ : no alcanza.
Probamos con $n = 3$ . Da $\frac{0{,}0625}{24}$ , cerca de $0{,}0026$ : todavía no.
Probamos con $n = 4$ . Da $\frac{0{,}03125}{120}$ , cerca de $0{,}00026$ , que ya es menor que lo pedido.
Respuesta: alcanza con orden $4$

Ejemplo 2

Hallar el orden necesario para aproximar $e^{1}$ con error menor que $0{,}01$ .

Acotamos la derivada. En $[0, 1]$ la exponencial no supera $e$ , que es menor que $3$ .
Escribimos la cota. Es $\frac{3}{(n+1)!}$ , porque la distancia al centro es $1$ y cualquier potencia de $1$ vale $1$ .
Probamos con $n = 4$ . Da $\frac{3}{120} = 0{,}025$ : no alcanza.
Probamos con $n = 5$ . Da $\frac{3}{720}$ , cerca de $0{,}0042$ , que cumple.
Respuesta: alcanza con orden $5$

Error típico

Redondear el orden para abajo. Si la cuenta pide algo entre $3$ y $4$ , hay que usar $4$ : con $3$ no se alcanza la precisión.

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