Qué es una sucesión

Una sucesión es una lista infinita de números puestos en orden: hay un primero, un segundo, un tercero, y así sin terminar nunca. Se escribe $a_{n}$ , donde el subíndice $n$ dice qué lugar ocupa ese número en la fila.

Visto de otra manera, una sucesión es una función, pero con una diferencia: en vez de aceptar cualquier número real, solo acepta naturales. No tiene sentido preguntar por el término $a_{2{,}7}$ , porque no hay un lugar dos y medio en la fila.

Para definir una sucesión alcanza con dar la fórmula del término general, que explica cómo se calcula el número que va en la posición $n$ . Con esa fórmula se obtiene cualquier término sin necesidad de escribir los anteriores.

Hay que distinguir dos cosas que se escriben parecido. El símbolo $a_{n}$ es un número: el que está en el lugar $n$ . El símbolo $(a_{n})$ con paréntesis es la sucesión entera, la lista completa.

a_{n} = f(n), \quad n \in \mathbb{N}

Cuándo se usa

Cuando el enunciado da una lista de números y pide la fórmula del término general, o al revés. Mirá la diferencia entre términos consecutivos: si es constante hay un múltiplo de la posición, y si es un cociente constante hay una potencia.

Ejemplo 1

Escribir los primeros cuatro términos de $a_{n} = \frac{n}{n+1}$ .

Reemplazamos $n$ por $1$ . Da $\frac{1}{2}$ .
Reemplazamos por $2$ . Da $\frac{2}{3}$ .
Reemplazamos por $3$ y por $4$ . Dan $\frac{3}{4}$ y $\frac{4}{5}$ .
Miramos el patrón. Los términos crecen y se van pegando a $1$ sin alcanzarlo.
Respuesta: $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}$

Ejemplo 2

Encontrar la fórmula del término general de $3, 5, 7, 9, \ldots$

Vemos la diferencia entre términos consecutivos. Siempre es $2$ , así que la fórmula tiene un $2n$ .
Probamos con $a_{n} = 2n$ . Daría $2, 4, 6, 8$ , que es todo dos unidades menos de lo que buscamos.
Corregimos sumando $1$ . Queda $a_{n} = 2n + 1$ .
Verificamos en $n = 1$ y $n = 4$ . Dan $3$ y $9$ , que coinciden.
Respuesta: $a_{n} = 2n + 1$

Error típico

Escribir $a_{n}$ cuando se quiere hablar de toda la sucesión. $a_{5}$ es un número, $(a_{n})$ es la lista completa.

Practicar

← Valor medio de una función Sucesiones convergentes →

Otros subtemas de Sucesiones, series y Taylor

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .