El criterio de comparación

Cuando una serie no se parece a ninguna de las conocidas, se la puede comparar con una que sí lo sea. La idea es sencilla: si los términos de una serie son más chicos que los de otra que converge, la primera también converge. Y si son más grandes que los de una que diverge, también diverge.

Vale la pena leer con cuidado en qué dirección funciona cada caso. Ser más chico que algo que converge sirve; ser más chico que algo que diverge no dice nada. Ser más grande que algo que diverge sirve; ser más grande que algo que converge tampoco dice nada.

El criterio pide que todos los términos sean positivos, porque si hay signos mezclados las desigualdades dejan de ordenar bien las sumas.

En la práctica el trabajo es elegir con qué comparar. Casi siempre se usa una p-serie o una geométrica, y se elige mirando qué manda cuando $n$ es grande. Un cociente de polinomios se compara con la p-serie que sale de restar los grados.

Hay una versión más cómoda, la comparación por paso al límite: si el cociente entre los términos de las dos series tiende a un número positivo, las dos hacen lo mismo. Evita tener que armar la desigualdad a mano.

0 \leq a_{n} \leq b_{n}: \ \sum b_{n} \text{ converge} \Rightarrow \sum a_{n} \text{ converge}

Cuándo se usa

Cuando el término general se parece al de una p-serie o una geométrica pero tiene algo sumado o restado. Compará con la que domina cuando la posición es grande. Si armar la desigualdad es incómodo, usá la comparación por paso al límite.

Ejemplo 1

Decidir si $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+1}$ converge.

Buscamos con qué comparar. El denominador se parece a $n^{2}$ cuando $n$ es grande.
Armamos la desigualdad. Como $n^{2} + 1 > n^{2}$ , al invertir queda $\frac{1}{n^{2}+1} < \frac{1}{n^{2}}$ .
Identificamos la serie de comparación. La p-serie con $p = 2$ converge.
Aplicamos el criterio. Términos más chicos que los de una convergente.
Respuesta: converge

Ejemplo 2

Decidir si $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n-1}$ converge, desde $n = 2$ .

Buscamos la comparación. Se parece a la armónica.
Armamos la desigualdad. Como $n - 1 < n$ , al invertir queda $\frac{1}{n-1} > \frac{1}{n}$ .
Identificamos la serie de comparación. La armónica diverge.
Aplicamos el criterio. Términos más grandes que los de una divergente.
Respuesta: diverge

Error típico

Concluir que una serie diverge porque sus términos son menores que los de una divergente. Esa desigualdad no aporta información.

Practicar

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