Método

Ejercicios: El criterio de comparación

0≤an≤bn: ∑bn converge⇒∑an converge0 \leq a_{n} \leq b_{n}: \ \sum b_{n} \text{ converge} \Rightarrow \sum a_{n} \text{ converge}

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Decidí si ∑n=1∞1n2+3\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{2} + 3} converge, usando comparación.

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1. Buscamos una serie conocida parecida. El término se parece a 1n2\dfrac{1}{n^{2}}, que es una pp-serie con p=2p = 2 y converge.

2. Comparamos los términos. n2+3>n2n^{2} + 3 > n^{2}, así que 1n2+3<1n2\dfrac{1}{n^{2} + 3} < \dfrac{1}{n^{2}} para todo nn.

3. Chequeamos que los términos sean positivos. Los dos lados son positivos, que es lo que pide el criterio.

4. Concluimos. Una serie de términos positivos menores que los de una convergente también converge.

Respuesta: converge, por comparación con ∑1n2\sum \dfrac{1}{n^{2}}

2. Decidí si ∑n=1∞12n+n\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{2^{n} + n} converge.

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1. Buscamos la serie de comparación. Para nn grande manda 2n2^{n}, así que comparamos con la geométrica ∑(12)n\sum \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}.

2. Chequeamos que esa converja. Su razón es 12<1\dfrac{1}{2} < 1, así que converge.

3. Comparamos los términos. 2n+n>2n2^{n} + n > 2^{n}, así que 12n+n<12n\dfrac{1}{2^{n} + n} < \dfrac{1}{2^{n}}.

4. Concluimos. Los términos son positivos y menores que los de una convergente, así que la serie converge.

Respuesta: converge, por comparación con la geométrica de razón 12\dfrac{1}{2}

3. Decidí si ∑n=1∞5n+1n3+2\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{5n + 1}{n^{3} + 2} converge, usando comparación por paso al límite.

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1. Elegimos la serie de comparación. Para nn grande el término se comporta como 5nn3=5n2\dfrac{5n}{n^{3}} = \dfrac{5}{n^{2}}, así que comparamos con ∑1n2\sum \dfrac{1}{n^{2}}.

2. Calculamos el límite del cociente. lim⁡n→∞5n+1n3+21n2=lim⁡n→∞5n3+n2n3+2=5\lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{5n + 1}{n^{3} + 2}}{\dfrac{1}{n^{2}}} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{5n^{3} + n^{2}}{n^{3} + 2} = 5

3. Interpretamos el resultado. El límite es finito y distinto de cero, así que las dos series hacen lo mismo.

4. Concluimos. ∑1n2\sum \dfrac{1}{n^{2}} converge, así que la serie dada también. Esta versión evita tener que probar la desigualdad término a término.

Respuesta: converge

4. Elegí con qué serie conviene comparar ∑n=1∞n+7n2+1\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{n + 7}{n^{2} + 1} y decidí si converge.

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1. Miramos el comportamiento para nn grande. Arriba manda nn y abajo n2n^{2}, así que el término se parece a nn2=1n\dfrac{n}{n^{2}} = \dfrac{1}{n}.

2. Elegimos la comparación. La candidata natural es la armónica, que diverge.

3. Comparamos los términos. n+7n2+1>nn2+n2=12n\dfrac{n + 7}{n^{2} + 1} > \dfrac{n}{n^{2} + n^{2}} = \dfrac{1}{2n} para n≥1n \geq 1.

4. Concluimos. Los términos son mayores que los de una serie divergente, así que la serie dada también diverge. La clave del criterio es elegir bien con qué comparar.

Respuesta: diverge, por comparación con la armónica

5. Decidí si ∑n=1∞1n2+7\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{2} + 7} converge, usando comparación.

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1. Buscamos una serie conocida parecida. El término se parece a 1n2\dfrac{1}{n^{2}}, que es una pp-serie con p=2p = 2 y converge.

2. Comparamos los términos. n2+7>n2n^{2} + 7 > n^{2}, así que 1n2+7<1n2\dfrac{1}{n^{2} + 7} < \dfrac{1}{n^{2}} para todo nn.

3. Chequeamos que los términos sean positivos. Los dos lados son positivos, que es lo que pide el criterio.

4. Concluimos. Una serie de términos positivos menores que los de una convergente también converge.

Respuesta: converge, por comparación con ∑1n2\sum \dfrac{1}{n^{2}}

6. Decidí si ∑n=1∞16n+n\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{6^{n} + n} converge.

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1. Buscamos la serie de comparación. Para nn grande manda 6n6^{n}, así que comparamos con la geométrica ∑(16)n\sum \left(\dfrac{1}{6}\right)^{n}.

2. Chequeamos que esa converja. Su razón es 16<1\dfrac{1}{6} < 1, así que converge.

3. Comparamos los términos. 6n+n>6n6^{n} + n > 6^{n}, así que 16n+n<16n\dfrac{1}{6^{n} + n} < \dfrac{1}{6^{n}}.

4. Concluimos. Los términos son positivos y menores que los de una convergente, así que la serie converge.

Respuesta: converge, por comparación con la geométrica de razón 16\dfrac{1}{6}

7. Decidí si ∑n=1∞7n+1n3+2\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{7n + 1}{n^{3} + 2} converge, usando comparación por paso al límite.

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1. Elegimos la serie de comparación. Para nn grande el término se comporta como 7nn3=7n2\dfrac{7n}{n^{3}} = \dfrac{7}{n^{2}}, así que comparamos con ∑1n2\sum \dfrac{1}{n^{2}}.

2. Calculamos el límite del cociente. lim⁡n→∞7n+1n3+21n2=lim⁡n→∞7n3+n2n3+2=7\lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{7n + 1}{n^{3} + 2}}{\dfrac{1}{n^{2}}} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{7n^{3} + n^{2}}{n^{3} + 2} = 7

3. Interpretamos el resultado. El límite es finito y distinto de cero, así que las dos series hacen lo mismo.

4. Concluimos. ∑1n2\sum \dfrac{1}{n^{2}} converge, así que la serie dada también. Esta versión evita tener que probar la desigualdad término a término.

Respuesta: converge

8. Elegí con qué serie conviene comparar ∑n=1∞n+3n2+1\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{n + 3}{n^{2} + 1} y decidí si converge.

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1. Miramos el comportamiento para nn grande. Arriba manda nn y abajo n2n^{2}, así que el término se parece a nn2=1n\dfrac{n}{n^{2}} = \dfrac{1}{n}.

2. Elegimos la comparación. La candidata natural es la armónica, que diverge.

3. Comparamos los términos. n+3n2+1>nn2+n2=12n\dfrac{n + 3}{n^{2} + 1} > \dfrac{n}{n^{2} + n^{2}} = \dfrac{1}{2n} para n≥1n \geq 1.

4. Concluimos. Los términos son mayores que los de una serie divergente, así que la serie dada también diverge. La clave del criterio es elegir bien con qué comparar.

Respuesta: diverge, por comparación con la armónica

9. Decidí si ∑n=1∞1n2+6\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{2} + 6} converge, usando comparación.

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1. Buscamos una serie conocida parecida. El término se parece a 1n2\dfrac{1}{n^{2}}, que es una pp-serie con p=2p = 2 y converge.

2. Comparamos los términos. n2+6>n2n^{2} + 6 > n^{2}, así que 1n2+6<1n2\dfrac{1}{n^{2} + 6} < \dfrac{1}{n^{2}} para todo nn.

3. Chequeamos que los términos sean positivos. Los dos lados son positivos, que es lo que pide el criterio.

4. Concluimos. Una serie de términos positivos menores que los de una convergente también converge.

Respuesta: converge, por comparación con ∑1n2\sum \dfrac{1}{n^{2}}

10. Decidí si ∑n=1∞15n+n\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{5^{n} + n} converge.

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1. Buscamos la serie de comparación. Para nn grande manda 5n5^{n}, así que comparamos con la geométrica ∑(15)n\sum \left(\dfrac{1}{5}\right)^{n}.

2. Chequeamos que esa converja. Su razón es 15<1\dfrac{1}{5} < 1, así que converge.

3. Comparamos los términos. 5n+n>5n5^{n} + n > 5^{n}, así que 15n+n<15n\dfrac{1}{5^{n} + n} < \dfrac{1}{5^{n}}.

4. Concluimos. Los términos son positivos y menores que los de una convergente, así que la serie converge.

Respuesta: converge, por comparación con la geométrica de razón 15\dfrac{1}{5}

11. Decidí si ∑n=1∞6n+1n3+2\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{6n + 1}{n^{3} + 2} converge, usando comparación por paso al límite.

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1. Elegimos la serie de comparación. Para nn grande el término se comporta como 6nn3=6n2\dfrac{6n}{n^{3}} = \dfrac{6}{n^{2}}, así que comparamos con ∑1n2\sum \dfrac{1}{n^{2}}.

2. Calculamos el límite del cociente. lim⁡n→∞6n+1n3+21n2=lim⁡n→∞6n3+n2n3+2=6\lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{6n + 1}{n^{3} + 2}}{\dfrac{1}{n^{2}}} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{6n^{3} + n^{2}}{n^{3} + 2} = 6

3. Interpretamos el resultado. El límite es finito y distinto de cero, así que las dos series hacen lo mismo.

4. Concluimos. ∑1n2\sum \dfrac{1}{n^{2}} converge, así que la serie dada también. Esta versión evita tener que probar la desigualdad término a término.

Respuesta: converge

12. Elegí con qué serie conviene comparar ∑n=1∞n+6n2+1\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{n + 6}{n^{2} + 1} y decidí si converge.

Ver solución

1. Miramos el comportamiento para nn grande. Arriba manda nn y abajo n2n^{2}, así que el término se parece a nn2=1n\dfrac{n}{n^{2}} = \dfrac{1}{n}.

2. Elegimos la comparación. La candidata natural es la armónica, que diverge.

3. Comparamos los términos. n+6n2+1>nn2+n2=12n\dfrac{n + 6}{n^{2} + 1} > \dfrac{n}{n^{2} + n^{2}} = \dfrac{1}{2n} para n≥1n \geq 1.

4. Concluimos. Los términos son mayores que los de una serie divergente, así que la serie dada también diverge. La clave del criterio es elegir bien con qué comparar.

Respuesta: diverge, por comparación con la armónica

Integradores de Sucesiones, series y Taylor: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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