Ejercicios: El resto de Lagrange

1. Escribí el resto de Lagrange de orden $3$ para $f(x) = e^{x}$ centrado en $0$ .

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1. Escribimos la fórmula general. $R_{3}(x) = \dfrac{f^{(4)}(c)}{4!}x^{4}$ , con $c$ entre $0$ y $x$ .

2. Calculamos la derivada que hace falta. Todas las derivadas de $e^{x}$ son $e^{x}$ , así que $f^{(4)}(c) = e^{c}$ .

3. Reemplazamos. $R_{3}(x) = \dfrac{e^{c}}{24}x^{4}$

4. Marcamos el detalle importante. El resto se parece al término siguiente del polinomio, pero la derivada no se evalúa en el centro sino en un punto $c$ desconocido del intermedio. Por eso se acota en vez de calcularse.

Respuesta: $R_{3}(x) = \dfrac{e^{c}}{24}x^{4}$ , con $c$ entre $0$ y $x$

2. Acotá el resto de orden $2$ de $e^{x}$ en $0$ , para $x$ en $[0, 1]$ .

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1. Escribimos el resto. $R_{2}(x) = \dfrac{e^{c}}{6}x^{3}$ , con $0 < c < x \leq 1$ .

2. Acotamos la derivada. $e^{c}$ es creciente, así que en ese intervalo $e^{c} \leq e < 3$ .

3. Acotamos la potencia. $x^{3} \leq 1$ porque $x \leq 1$ .

4. Escribimos la cota. $|R_{2}(x)| \leq \dfrac{3}{6} \approx 0{,}5$ . No sabemos cuánto vale $c$ , pero sí acotarlo, y con eso alcanza.

Respuesta: $|R_{2}| \leq \dfrac{3}{6} \approx 0{,}5$

3. Para la aproximación de $e^{0{,}2}$ con el polinomio de orden $2$ , compará el error real con la cota de Lagrange.

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1. Calculamos la aproximación. $P_{2}(0{,}2) = 1{,}22$

2. Calculamos el error real. $|e^{0{,}2} - P_{2}(0{,}2)| \approx 0{,}0014$

3. Escribimos la cota de Lagrange. $|R_{2}| \leq \dfrac{3}{6}(0{,}2)^{3} \approx 0{,}004$ , usando $e^{c} < 3$ .

4. Comparamos. El error real es menor que la cota, como tiene que ser. La cota es pesimista a propósito: garantiza sin necesitar el valor exacto.

Respuesta: error real aproximadamente $0{,}0014$ , contra una cota de $0{,}004$

4. Explicá dónde se evalúa la derivada en el resto de Lagrange de orden $5$ y por qué eso importa.

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1. Escribimos la fórmula. $R_{5}(x) = \dfrac{f^{(6)}(c)}{6!}(x - a)^{6}$

2. Ubicamos el punto. $c$ es algún punto entre el centro $a$ y el valor $x$ donde se está aproximando. El teorema garantiza que existe, pero no dice cuál es.

3. Marcamos la diferencia con el polinomio. En el polinomio todas las derivadas se evalúan en el centro; en el resto, en ese punto intermedio desconocido.

4. Explicamos la consecuencia práctica. Como no se conoce $c$ , el resto no se calcula: se acota, buscando el mayor valor posible de la derivada en el intervalo. Por eso el resultado es una cota y no un número exacto.

Respuesta: en un punto $c$ entre el centro y $x$ , desconocido: por eso el resto se acota

5. Escribí el resto de Lagrange de orden $4$ para $f(x) = e^{x}$ centrado en $0$ .

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1. Escribimos la fórmula general. $R_{4}(x) = \dfrac{f^{(5)}(c)}{5!}x^{5}$ , con $c$ entre $0$ y $x$ .

2. Calculamos la derivada que hace falta. Todas las derivadas de $e^{x}$ son $e^{x}$ , así que $f^{(5)}(c) = e^{c}$ .

3. Reemplazamos. $R_{4}(x) = \dfrac{e^{c}}{120}x^{5}$

4. Marcamos el detalle importante. El resto se parece al término siguiente del polinomio, pero la derivada no se evalúa en el centro sino en un punto $c$ desconocido del intermedio. Por eso se acota en vez de calcularse.

Respuesta: $R_{4}(x) = \dfrac{e^{c}}{120}x^{5}$ , con $c$ entre $0$ y $x$

6. Acotá el resto de orden $6$ de $e^{x}$ en $0$ , para $x$ en $[0, 1]$ .

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1. Escribimos el resto. $R_{6}(x) = \dfrac{e^{c}}{5040}x^{7}$ , con $0 < c < x \leq 1$ .

2. Acotamos la derivada. $e^{c}$ es creciente, así que en ese intervalo $e^{c} \leq e < 3$ .

3. Acotamos la potencia. $x^{7} \leq 1$ porque $x \leq 1$ .

4. Escribimos la cota. $|R_{6}(x)| \leq \dfrac{3}{5040} \approx 0{,}0006$ . No sabemos cuánto vale $c$ , pero sí acotarlo, y con eso alcanza.

Respuesta: $|R_{6}| \leq \dfrac{3}{5040} \approx 0{,}0006$

7. Para la aproximación de $e^{0{,}25}$ con el polinomio de orden $2$ , compará el error real con la cota de Lagrange.

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1. Calculamos la aproximación. $P_{2}(0{,}25) = 1{,}2812$

2. Calculamos el error real. $|e^{0{,}25} - P_{2}(0{,}25)| \approx 0{,}0028$

3. Escribimos la cota de Lagrange. $|R_{2}| \leq \dfrac{3}{6}(0{,}25)^{3} \approx 0{,}0078$ , usando $e^{c} < 3$ .

4. Comparamos. El error real es menor que la cota, como tiene que ser. La cota es pesimista a propósito: garantiza sin necesitar el valor exacto.

Respuesta: error real aproximadamente $0{,}0028$ , contra una cota de $0{,}0078$

8. Explicá dónde se evalúa la derivada en el resto de Lagrange de orden $2$ y por qué eso importa.

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1. Escribimos la fórmula. $R_{2}(x) = \dfrac{f^{(3)}(c)}{3!}(x - a)^{3}$

2. Ubicamos el punto. $c$ es algún punto entre el centro $a$ y el valor $x$ donde se está aproximando. El teorema garantiza que existe, pero no dice cuál es.

3. Marcamos la diferencia con el polinomio. En el polinomio todas las derivadas se evalúan en el centro; en el resto, en ese punto intermedio desconocido.

4. Explicamos la consecuencia práctica. Como no se conoce $c$ , el resto no se calcula: se acota, buscando el mayor valor posible de la derivada en el intervalo. Por eso el resultado es una cota y no un número exacto.

Respuesta: en un punto $c$ entre el centro y $x$ , desconocido: por eso el resto se acota

9. Escribí el resto de Lagrange de orden $5$ para $f(x) = e^{x}$ centrado en $0$ .

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1. Escribimos la fórmula general. $R_{5}(x) = \dfrac{f^{(6)}(c)}{6!}x^{6}$ , con $c$ entre $0$ y $x$ .

2. Calculamos la derivada que hace falta. Todas las derivadas de $e^{x}$ son $e^{x}$ , así que $f^{(6)}(c) = e^{c}$ .

3. Reemplazamos. $R_{5}(x) = \dfrac{e^{c}}{720}x^{6}$

4. Marcamos el detalle importante. El resto se parece al término siguiente del polinomio, pero la derivada no se evalúa en el centro sino en un punto $c$ desconocido del intermedio. Por eso se acota en vez de calcularse.

Respuesta: $R_{5}(x) = \dfrac{e^{c}}{720}x^{6}$ , con $c$ entre $0$ y $x$

10. Acotá el resto de orden $5$ de $e^{x}$ en $0$ , para $x$ en $[0, 1]$ .

Ver solución

1. Escribimos el resto. $R_{5}(x) = \dfrac{e^{c}}{720}x^{6}$ , con $0 < c < x \leq 1$ .

2. Acotamos la derivada. $e^{c}$ es creciente, así que en ese intervalo $e^{c} \leq e < 3$ .

3. Acotamos la potencia. $x^{6} \leq 1$ porque $x \leq 1$ .

4. Escribimos la cota. $|R_{5}(x)| \leq \dfrac{3}{720} \approx 0{,}0042$ . No sabemos cuánto vale $c$ , pero sí acotarlo, y con eso alcanza.

Respuesta: $|R_{5}| \leq \dfrac{3}{720} \approx 0{,}0042$

11. Para la aproximación de $e^{0{,}1}$ con el polinomio de orden $2$ , compará el error real con la cota de Lagrange.

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1. Calculamos la aproximación. $P_{2}(0{,}1) = 1{,}105$

2. Calculamos el error real. $|e^{0{,}1} - P_{2}(0{,}1)| \approx 0{,}0002$

3. Escribimos la cota de Lagrange. $|R_{2}| \leq \dfrac{3}{6}(0{,}1)^{3} \approx 0{,}0005$ , usando $e^{c} < 3$ .

4. Comparamos. El error real es menor que la cota, como tiene que ser. La cota es pesimista a propósito: garantiza sin necesitar el valor exacto.

Respuesta: error real aproximadamente $0{,}0002$ , contra una cota de $0{,}0005$

12. Explicá dónde se evalúa la derivada en el resto de Lagrange de orden $6$ y por qué eso importa.

Ver solución

1. Escribimos la fórmula. $R_{6}(x) = \dfrac{f^{(7)}(c)}{7!}(x - a)^{7}$

2. Ubicamos el punto. $c$ es algún punto entre el centro $a$ y el valor $x$ donde se está aproximando. El teorema garantiza que existe, pero no dice cuál es.

3. Marcamos la diferencia con el polinomio. En el polinomio todas las derivadas se evalúan en el centro; en el resto, en ese punto intermedio desconocido.

4. Explicamos la consecuencia práctica. Como no se conoce $c$ , el resto no se calcula: se acota, buscando el mayor valor posible de la derivada en el intervalo. Por eso el resultado es una cota y no un número exacto.

Respuesta: en un punto $c$ entre el centro y $x$ , desconocido: por eso el resto se acota