Ejercicios: Sucesiones monótonas y acotadas

\text{creciente} + \text{acotada superiormente} \Rightarrow \text{converge}

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Probá que $a_{n} = \dfrac{n}{n + 4}$ es creciente.

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1. Escribimos la condición. Hay que ver que $a_{n+1} - a_{n} \geq 0$ para todo $n$ natural.

2. Escribimos los dos términos. $a_{n+1} = \dfrac{n + 1}{n + 5}$ y $a_{n} = \dfrac{n}{n + 4}$ .

3. Restamos con denominador común. $\dfrac{(n+1)(n + 4) - n(n + 5)}{(n + 5)(n + 4)} = \dfrac{4}{(n + 5)(n + 4)}$

4. Analizamos el signo. El numerador es $4 > 0$ y el denominador es positivo para $n$ natural, así que la diferencia es positiva: la sucesión crece.

Respuesta: es creciente, porque $a_{n+1} - a_{n} = \dfrac{4}{(n + 5)(n + 4)} > 0$

2. Probá que $a_{n} = \dfrac{n}{n + 4}$ está acotada superiormente por $1$ .

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1. Escribimos la condición. Hay que ver que $\dfrac{n}{n + 4} \leq 1$ para todo $n$ natural.

2. Comparamos numerador y denominador. $n + 4 > n$ , porque $4$ es positivo.

3. Traducimos a la fracción. Una fracción de términos positivos con denominador mayor que el numerador es menor que $1$ .

4. Escribimos la conclusión. $a_{n} < 1$ para todo $n$ , así que $1$ es cota superior. Además ningún término la alcanza: es el límite, no un valor de la sucesión.

Respuesta: está acotada superiormente por $1$

3. Usando que $a_{n} = \dfrac{n}{n + 3}$ es creciente y está acotada por $1$ , decidí si converge y hallá su límite.

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1. Aplicamos el teorema. Toda sucesión monótona y acotada converge. Acá es creciente y acotada superiormente, así que converge.

2. Vemos qué da el teorema y qué no. Garantiza que el límite existe, pero no dice cuánto vale: para eso hay que calcularlo.

3. Calculamos el límite. Dividiendo por $n$ : $\dfrac{1}{1 + \dfrac{3}{n}} \to 1$ .

4. Cerramos. El límite es la cota superior, y ningún término lo alcanza: converger es acercarse, no llegar.

Respuesta: converge, y su límite es $1$

4. Decidí si $a_{n} = 7 n$ converge, sabiendo que es creciente.

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1. Chequeamos la monotonía. $a_{n+1} - a_{n} = 7 > 0$ , así que efectivamente es creciente.

2. Buscamos una cota superior. Para cualquier número $M$ que se proponga, tomando $n$ mayor que $\dfrac{M}{7}$ el término lo supera: no hay cota.

3. Aplicamos el teorema con cuidado. El teorema pide monótona y acotada. Falta una hipótesis, así que no se puede concluir que converja.

4. Concluimos. De hecho diverge a $+\infty$ . Ser monótona sola no alcanza: la acotación es la que impide escaparse.

Respuesta: no converge: es creciente pero no acotada, así que diverge a $+\infty$

5. Probá que $a_{n} = \dfrac{n}{n + 2}$ es creciente.

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1. Escribimos la condición. Hay que ver que $a_{n+1} - a_{n} \geq 0$ para todo $n$ natural.

2. Escribimos los dos términos. $a_{n+1} = \dfrac{n + 1}{n + 3}$ y $a_{n} = \dfrac{n}{n + 2}$ .

3. Restamos con denominador común. $\dfrac{(n+1)(n + 2) - n(n + 3)}{(n + 3)(n + 2)} = \dfrac{2}{(n + 3)(n + 2)}$

4. Analizamos el signo. El numerador es $2 > 0$ y el denominador es positivo para $n$ natural, así que la diferencia es positiva: la sucesión crece.

Respuesta: es creciente, porque $a_{n+1} - a_{n} = \dfrac{2}{(n + 3)(n + 2)} > 0$

6. Probá que $a_{n} = \dfrac{n}{n + 2}$ está acotada superiormente por $1$ .

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1. Escribimos la condición. Hay que ver que $\dfrac{n}{n + 2} \leq 1$ para todo $n$ natural.

2. Comparamos numerador y denominador. $n + 2 > n$ , porque $2$ es positivo.

3. Traducimos a la fracción. Una fracción de términos positivos con denominador mayor que el numerador es menor que $1$ .

4. Escribimos la conclusión. $a_{n} < 1$ para todo $n$ , así que $1$ es cota superior. Además ningún término la alcanza: es el límite, no un valor de la sucesión.

Respuesta: está acotada superiormente por $1$

7. Usando que $a_{n} = \dfrac{n}{n + 5}$ es creciente y está acotada por $1$ , decidí si converge y hallá su límite.

Ver solución

1. Aplicamos el teorema. Toda sucesión monótona y acotada converge. Acá es creciente y acotada superiormente, así que converge.

2. Vemos qué da el teorema y qué no. Garantiza que el límite existe, pero no dice cuánto vale: para eso hay que calcularlo.

3. Calculamos el límite. Dividiendo por $n$ : $\dfrac{1}{1 + \dfrac{5}{n}} \to 1$ .

4. Cerramos. El límite es la cota superior, y ningún término lo alcanza: converger es acercarse, no llegar.

Respuesta: converge, y su límite es $1$

8. Decidí si $a_{n} = 2 n$ converge, sabiendo que es creciente.

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1. Chequeamos la monotonía. $a_{n+1} - a_{n} = 2 > 0$ , así que efectivamente es creciente.

2. Buscamos una cota superior. Para cualquier número $M$ que se proponga, tomando $n$ mayor que $\dfrac{M}{2}$ el término lo supera: no hay cota.

3. Aplicamos el teorema con cuidado. El teorema pide monótona y acotada. Falta una hipótesis, así que no se puede concluir que converja.

4. Concluimos. De hecho diverge a $+\infty$ . Ser monótona sola no alcanza: la acotación es la que impide escaparse.

Respuesta: no converge: es creciente pero no acotada, así que diverge a $+\infty$

9. Probá que $a_{n} = \dfrac{n}{n + 7}$ es creciente.

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1. Escribimos la condición. Hay que ver que $a_{n+1} - a_{n} \geq 0$ para todo $n$ natural.

2. Escribimos los dos términos. $a_{n+1} = \dfrac{n + 1}{n + 8}$ y $a_{n} = \dfrac{n}{n + 7}$ .

3. Restamos con denominador común. $\dfrac{(n+1)(n + 7) - n(n + 8)}{(n + 8)(n + 7)} = \dfrac{7}{(n + 8)(n + 7)}$

4. Analizamos el signo. El numerador es $7 > 0$ y el denominador es positivo para $n$ natural, así que la diferencia es positiva: la sucesión crece.

Respuesta: es creciente, porque $a_{n+1} - a_{n} = \dfrac{7}{(n + 8)(n + 7)} > 0$

10. Probá que $a_{n} = \dfrac{n}{n + 7}$ está acotada superiormente por $1$ .

Ver solución

1. Escribimos la condición. Hay que ver que $\dfrac{n}{n + 7} \leq 1$ para todo $n$ natural.

2. Comparamos numerador y denominador. $n + 7 > n$ , porque $7$ es positivo.

3. Traducimos a la fracción. Una fracción de términos positivos con denominador mayor que el numerador es menor que $1$ .

4. Escribimos la conclusión. $a_{n} < 1$ para todo $n$ , así que $1$ es cota superior. Además ningún término la alcanza: es el límite, no un valor de la sucesión.

Respuesta: está acotada superiormente por $1$

11. Usando que $a_{n} = \dfrac{n}{n + 2}$ es creciente y está acotada por $1$ , decidí si converge y hallá su límite.

Ver solución

1. Aplicamos el teorema. Toda sucesión monótona y acotada converge. Acá es creciente y acotada superiormente, así que converge.

2. Vemos qué da el teorema y qué no. Garantiza que el límite existe, pero no dice cuánto vale: para eso hay que calcularlo.

3. Calculamos el límite. Dividiendo por $n$ : $\dfrac{1}{1 + \dfrac{2}{n}} \to 1$ .

4. Cerramos. El límite es la cota superior, y ningún término lo alcanza: converger es acercarse, no llegar.

Respuesta: converge, y su límite es $1$

12. Decidí si $a_{n} = 3 n$ converge, sabiendo que es creciente.

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1. Chequeamos la monotonía. $a_{n+1} - a_{n} = 3 > 0$ , así que efectivamente es creciente.

2. Buscamos una cota superior. Para cualquier número $M$ que se proponga, tomando $n$ mayor que $\dfrac{M}{3}$ el término lo supera: no hay cota.

3. Aplicamos el teorema con cuidado. El teorema pide monótona y acotada. Falta una hipótesis, así que no se puede concluir que converja.

4. Concluimos. De hecho diverge a $+\infty$ . Ser monótona sola no alcanza: la acotación es la que impide escaparse.

Respuesta: no converge: es creciente pero no acotada, así que diverge a $+\infty$

Integradores de Sucesiones, series y Taylor: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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