Método

Ejercicios: Sucesiones convergentes

lim⁡n→∞an=L\lim_{n \to \infty} a_{n} = L

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Calculá lim⁡n→∞3n+25n−1\lim_{n \to \infty} \dfrac{3 n + 2}{5 n - 1}.

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1. Reconocemos la forma. Arriba y abajo se van a infinito: es la indeterminación infinito sobre infinito, igual que con funciones.

2. Dividimos todo por la potencia mayor. 3+2n5−1n\dfrac{3 + \dfrac{2}{n}}{5 - \dfrac{1}{n}}

3. Tomamos límite término a término. Las fracciones con nn en el denominador tienden a cero.

4. Escribimos el resultado. El límite es 35\dfrac{3}{5}, así que la sucesión converge a ese valor sin alcanzarlo nunca.

Respuesta: converge a 35\dfrac{3}{5}

2. Calculá lim⁡n→∞(n+3−n)\lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n + 3} - \sqrt{n}\right).

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1. Reconocemos la forma. Las dos raíces se van a infinito: es infinito menos infinito, indeterminado.

2. Multiplicamos y dividimos por el conjugado. (n+3)−nn+3+n=3n+3+n\dfrac{(n + 3) - n}{\sqrt{n + 3} + \sqrt{n}} = \dfrac{3}{\sqrt{n + 3} + \sqrt{n}}

3. Miramos la forma nueva. El numerador es constante y el denominador crece sin freno.

4. Tomamos límite. El cociente tiende a 00, así que la sucesión converge a cero: las dos raíces se parecen cada vez más entre sí.

Respuesta: converge a 00

3. Decidí si la sucesión an=4(−1)na_{n} = 4 \left(-1\right)^{n} converge.

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1. Escribimos los primeros términos. −4-4, 44, −4-4, 44, y así alternando.

2. Buscamos un único valor de acercamiento. Los términos de lugar par valen 44 y los de lugar impar −4-4: no se acumulan alrededor de un solo número.

3. Clasificamos. No converge, pero tampoco se dispara: los términos están acotados. Es una sucesión oscilante.

4. Sacamos la conclusión. Estar acotada no alcanza para converger. Hace falta que los términos se estabilicen en un valor.

Respuesta: no converge: oscila entre dos valores

4. Calculá lim⁡n→∞3nn!\lim_{n \to \infty} \dfrac{3^{n}}{n!}.

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1. Comparamos los dos crecimientos. Arriba se multiplica siempre por 33 y abajo se multiplica por nn, que crece.

2. Miramos el cociente entre términos consecutivos. an+1an=3n+1\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}} = \dfrac{3}{n + 1}, que a partir de n=3n = 3 es menor que 11.

3. Interpretamos. Desde ahí cada término es una fracción cada vez más chica del anterior, así que la sucesión decrece rápidamente hacia cero.

4. Escribimos el límite. El factorial le gana a cualquier exponencial, así que el límite es 00.

Respuesta: converge a 00

5. Calculá lim⁡n→∞7n+54n−1\lim_{n \to \infty} \dfrac{7 n + 5}{4 n - 1}.

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1. Reconocemos la forma. Arriba y abajo se van a infinito: es la indeterminación infinito sobre infinito, igual que con funciones.

2. Dividimos todo por la potencia mayor. 7+5n4−1n\dfrac{7 + \dfrac{5}{n}}{4 - \dfrac{1}{n}}

3. Tomamos límite término a término. Las fracciones con nn en el denominador tienden a cero.

4. Escribimos el resultado. El límite es 74\dfrac{7}{4}, así que la sucesión converge a ese valor sin alcanzarlo nunca.

Respuesta: converge a 74\dfrac{7}{4}

6. Calculá lim⁡n→∞(n+6−n)\lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n + 6} - \sqrt{n}\right).

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1. Reconocemos la forma. Las dos raíces se van a infinito: es infinito menos infinito, indeterminado.

2. Multiplicamos y dividimos por el conjugado. (n+6)−nn+6+n=6n+6+n\dfrac{(n + 6) - n}{\sqrt{n + 6} + \sqrt{n}} = \dfrac{6}{\sqrt{n + 6} + \sqrt{n}}

3. Miramos la forma nueva. El numerador es constante y el denominador crece sin freno.

4. Tomamos límite. El cociente tiende a 00, así que la sucesión converge a cero: las dos raíces se parecen cada vez más entre sí.

Respuesta: converge a 00

7. Decidí si la sucesión an=5(−1)na_{n} = 5 \left(-1\right)^{n} converge.

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1. Escribimos los primeros términos. −5-5, 55, −5-5, 55, y así alternando.

2. Buscamos un único valor de acercamiento. Los términos de lugar par valen 55 y los de lugar impar −5-5: no se acumulan alrededor de un solo número.

3. Clasificamos. No converge, pero tampoco se dispara: los términos están acotados. Es una sucesión oscilante.

4. Sacamos la conclusión. Estar acotada no alcanza para converger. Hace falta que los términos se estabilicen en un valor.

Respuesta: no converge: oscila entre dos valores

8. Calculá lim⁡n→∞6nn!\lim_{n \to \infty} \dfrac{6^{n}}{n!}.

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1. Comparamos los dos crecimientos. Arriba se multiplica siempre por 66 y abajo se multiplica por nn, que crece.

2. Miramos el cociente entre términos consecutivos. an+1an=6n+1\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}} = \dfrac{6}{n + 1}, que a partir de n=6n = 6 es menor que 11.

3. Interpretamos. Desde ahí cada término es una fracción cada vez más chica del anterior, así que la sucesión decrece rápidamente hacia cero.

4. Escribimos el límite. El factorial le gana a cualquier exponencial, así que el límite es 00.

Respuesta: converge a 00

9. Calculá lim⁡n→∞2n+63n−1\lim_{n \to \infty} \dfrac{2 n + 6}{3 n - 1}.

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1. Reconocemos la forma. Arriba y abajo se van a infinito: es la indeterminación infinito sobre infinito, igual que con funciones.

2. Dividimos todo por la potencia mayor. 2+6n3−1n\dfrac{2 + \dfrac{6}{n}}{3 - \dfrac{1}{n}}

3. Tomamos límite término a término. Las fracciones con nn en el denominador tienden a cero.

4. Escribimos el resultado. El límite es 23\dfrac{2}{3}, así que la sucesión converge a ese valor sin alcanzarlo nunca.

Respuesta: converge a 23\dfrac{2}{3}

10. Calculá lim⁡n→∞(n+7−n)\lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n + 7} - \sqrt{n}\right).

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1. Reconocemos la forma. Las dos raíces se van a infinito: es infinito menos infinito, indeterminado.

2. Multiplicamos y dividimos por el conjugado. (n+7)−nn+7+n=7n+7+n\dfrac{(n + 7) - n}{\sqrt{n + 7} + \sqrt{n}} = \dfrac{7}{\sqrt{n + 7} + \sqrt{n}}

3. Miramos la forma nueva. El numerador es constante y el denominador crece sin freno.

4. Tomamos límite. El cociente tiende a 00, así que la sucesión converge a cero: las dos raíces se parecen cada vez más entre sí.

Respuesta: converge a 00

11. Decidí si la sucesión an=7(−1)na_{n} = 7 \left(-1\right)^{n} converge.

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1. Escribimos los primeros términos. −7-7, 77, −7-7, 77, y así alternando.

2. Buscamos un único valor de acercamiento. Los términos de lugar par valen 77 y los de lugar impar −7-7: no se acumulan alrededor de un solo número.

3. Clasificamos. No converge, pero tampoco se dispara: los términos están acotados. Es una sucesión oscilante.

4. Sacamos la conclusión. Estar acotada no alcanza para converger. Hace falta que los términos se estabilicen en un valor.

Respuesta: no converge: oscila entre dos valores

12. Calculá lim⁡n→∞5nn!\lim_{n \to \infty} \dfrac{5^{n}}{n!}.

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1. Comparamos los dos crecimientos. Arriba se multiplica siempre por 55 y abajo se multiplica por nn, que crece.

2. Miramos el cociente entre términos consecutivos. an+1an=5n+1\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}} = \dfrac{5}{n + 1}, que a partir de n=5n = 5 es menor que 11.

3. Interpretamos. Desde ahí cada término es una fracción cada vez más chica del anterior, así que la sucesión decrece rápidamente hacia cero.

4. Escribimos el límite. El factorial le gana a cualquier exponencial, así que el límite es 00.

Respuesta: converge a 00

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