Integradores de Vectores, rectas y planos

1. Restamos extremo menos origen. Un vector entre dos puntos se calcula restándole al de llegada el de partida, componente a componente.

2. Hacemos las dos cuentas. $\vec{AB} = (5; 5) - (1; 2) = (4; 3)$ y $\vec{AC} = (-2; 6) - (1; 2) = (-3; 4)$.

3. Chequeamos el sentido. Si el vector va de $A$ a $B$, entonces sumándole $A$ tiene que volver $B$: $(1; 2) + (4; 3) = (5; 5)$. Restar al revés es el error más común del tema y da el vector opuesto.

Respuesta: $\vec{AB} = (4; 3)$ y $\vec{AC} = (-3; 4)$

b)

1. Multiplicamos por el escalar. $2\,\vec{AB} = 2 \cdot (4; 3) = (8; 6)$.

2. Restamos $\vec{AC}$. $\vec{w} = (8; 6) - (-3; 4) = (11; 2)$.

3. Miramos qué quedó. Multiplicar por $2$ estira sin girar, y restar $\vec{AC}$ corre la punta. El resultado ya no apunta para el mismo lado que $\vec{AB}$, y eso es lo que va a medir el ángulo de d).

Respuesta: $\vec{w} = (11; 2)$

c)

1. Multiplicamos componente a componente y sumamos. $\vec{AB} \cdot \vec{w} = 4 \cdot 11 + 3 \cdot 2 = 50$.

2. Miramos el signo. Da positivo, así que el ángulo entre los dos es menor de $90^\circ$.

3. Anotamos para qué sirve. Este número es el numerador de la fórmula del coseno que usamos en d). Si hubiera dado cero, los dos vectores serían perpendiculares y no haría falta seguir.

Respuesta: $\vec{AB} \cdot \vec{w} = 50$

d)

1. Calculamos los dos módulos. $|\vec{AB}| = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5$ y $|\vec{w}| = \sqrt{11^{2} + 2^{2}} = 5 \sqrt{5}$.

2. Usamos la fórmula del coseno. $\cos\alpha = \dfrac{\vec{AB} \cdot \vec{w}}{|\vec{AB}|\,|\vec{w}|} = \dfrac{50}{5 \cdot 5 \sqrt{5}} = \dfrac{2 \sqrt{5}}{5}$.

3. Despejamos el ángulo. $\alpha = \arccos(\dfrac{2 \sqrt{5}}{5}) \approx 26{,}5651^\circ$.

Respuesta: $\alpha \approx 26{,}5651^\circ$

1. Elegimos el origen común. Los tres vectores salen de $A$, porque el paralelepípedo de c) y el plano de d) se arman desde ese vértice.

2. Restamos extremo menos origen en las tres. $\vec{AB} = (2; 1; 0)$, $\vec{AC} = (0; 4; 1)$ y $\vec{AD} = (1; 1; 4)$.

3. Verificamos una. Sumando $A$ a $\vec{AB}$ tiene que volver $B$, y vuelve.

Respuesta: $\vec{AB} = (2; 1; 0)$, $\vec{AC} = (0; 4; 1)$, $\vec{AD} = (1; 1; 4)$

b)

1. Armamos el determinante simbólico. El producto vectorial sale del determinante que tiene $\hat{\imath}$, $\hat{\jmath}$, $\hat{k}$ en la primera fila y los dos vectores debajo.

2. Calculamos cada componente. La primera es $1 \cdot 1 - 0 \cdot 4 = 1$, la segunda es $-(2 \cdot 1 - 0 \cdot 0) = -2$ y la tercera es $2 \cdot 4 - 1 \cdot 0 = 8$.

3. Verificamos que sea ortogonal a los dos. $\vec{n} \cdot \vec{AB} = 0$ y $\vec{n} \cdot \vec{AC} = 0$, como tiene que ser.

Respuesta: $\vec{AB} \times \vec{AC} = (1; -2; 8)$

c)

1. Usamos el producto mixto. El volumen es el módulo de $(\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AD}$, y el producto vectorial ya lo tenemos de b).

2. Hacemos el escalar. $(1; -2; 8) \cdot (1; 1; 4) = 1 \cdot 1 + (-2) \cdot 1 + 8 \cdot 4 = 31$.

3. Tomamos el módulo. El volumen es $|31| = 31$.

Respuesta: volumen $= 31$

d)

1. Confirmamos que el plano existe. El producto mixto de c) dio distinto de cero, así que los tres vectores no son coplanares y en particular $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$ no son paralelos: determinan un plano y no una recta.

2. Tomamos la normal de b). El plano que pasa por $A$, $B$ y $C$ contiene a $\vec{AB}$ y a $\vec{AC}$, así que $\vec{n} = (1; -2; 8)$ es perpendicular al plano.

3. Planteamos la ecuación. $x - 2y + 8z = d$, con el término independiente todavía sin calcular.

4. Imponemos que pase por $A$. Reemplazando $A(1; 0; 2)$ queda $1 \cdot 1 + (-2) \cdot 0 + 8 \cdot 2 = 17$.

5. Verificamos con $B$ y con $C$. En $B$ da $17$ y en $C$ da $17$, los dos iguales al término independiente.

Respuesta: $x - 2y + 8z = 17$

1. Restamos extremo menos origen. $\vec{AB} = (5; 1; 7) - (2; -1; 3) = (3; 2; 4)$.

2. Chequeamos que no sea el vector nulo. Tiene componentes distintas de cero, así que sirve como director de una recta. El vector nulo no define ninguna dirección.

3. Anotamos para qué sirve. Este vector es el director que van a usar b) y c), y el que se compara en d).

Respuesta: $\vec{AB} = (3; 2; 4)$

b)

1. Elegimos punto y director. La recta pasa por $A(2; -1; 3)$ y tiene como director a $\vec{AB} = (3; 2; 4)$, que es el de a).

2. Escribimos la vectorial. $(x; y; z) = (2; -1; 3) + t\,(3; 2; 4)$.

3. Separamos en las tres paramétricas. $x = 2 + 3t$, $y = -1 + 2t$, $z = 3 + 4t$.

Respuesta: $(x; y; z) = (2; -1; 3) + t\,(3; 2; 4)$

c)

1. Despejamos $t$ de cada paramétrica. $t = \dfrac{x - 2}{3}$, $t = \dfrac{y + 1}{2}$ y $t = \dfrac{z - 3}{4}$.

2. Igualamos las tres. Como las tres valen $t$, valen entre sí.

3. Miramos la condición para poder hacerlo. Se puede despejar porque ninguna componente del director es cero. Si alguna lo fuera, esa coordenada quedaría fija y la recta se escribiría con dos fracciones y una igualdad aparte.

Respuesta: $\dfrac{x - 2}{3} = \dfrac{y + 1}{2} = \dfrac{z - 3}{4}$

d)

1. Calculamos $\vec{AC}$. $\vec{AC} = (11; 5; 15) - (2; -1; 3) = (9; 6; 12)$.

2. Chequeamos con la simétrica de c). Reemplazando las coordenadas de $C$ en las tres fracciones tienen que dar todas el mismo valor. Si dieran distinto, $C$ no estaría en la recta.

3. Comparamos con el director. Tres puntos están alineados si $\vec{AC}$ es múltiplo de $\vec{AB}$. Dividiendo componente a componente: $\dfrac{9}{3} = 3$, $\dfrac{6}{2} = 3$ y $\dfrac{12}{4} = 3$.

4. Concluimos. Las tres razones dan $3$, así que $\vec{AC} = 3\,\vec{AB}$ y los tres puntos están alineados. Dicho de otro modo, $C$ es el punto de la recta de b) que corresponde a $t = 3$.

Respuesta: sí, los tres puntos están alineados, con razón $3$

1. Multiplicamos componente a componente y sumamos. $\vec{u} \cdot \vec{v} = 4 \cdot 2 + 3 \cdot 0 = 8$.

2. Miramos el signo. Da positivo, así que los dos vectores apuntan para el mismo semiplano y la proyección de b) va a tener el sentido de $\vec{v}$.

3. Anotamos para qué sirve. Este número es el numerador de la proyección de b).

Respuesta: $\vec{u} \cdot \vec{v} = 8$

b)

1. Calculamos $|\vec{v}|^{2}$. $\vec{v} \cdot \vec{v} = 2 \cdot 2 + 0 \cdot 0 = 4$. Va el módulo al CUADRADO en el denominador, no el módulo: es el error típico del tema.

2. Aplicamos la fórmula. $\operatorname{proy}_{\vec{v}} \vec{u} = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^{2}}\,\vec{v} = \dfrac{8}{4} \cdot (2; 0) = (4; 0)$.

3. Leemos el resultado. La proyección es un múltiplo de $\vec{v}$, que es lo que tiene que pasar: es la sombra de $\vec{u}$ sobre la dirección de $\vec{v}$.

Respuesta: $\operatorname{proy}_{\vec{v}} \vec{u} = (4; 0)$

c)

1. Restamos. $\vec{w} = (4; 3) - (4; 0) = (0; 3)$.

2. Vemos qué representa. Es lo que le sobra a $\vec{u}$ después de sacarle su sombra sobre $\vec{v}$.

3. Chequeamos que la suma vuelva. La proyección de b) más este vector tienen que dar $\vec{u}$, y d) lo termina de confirmar viendo que además son perpendiculares.

Respuesta: $\vec{w} = (0; 3)$

d)

1. Hacemos el producto escalar. $\vec{w} \cdot \vec{v} = 0 \cdot 2 + 3 \cdot 0 = 0$.

2. Concluimos. Da cero, así que son ortogonales.

3. Miramos qué significa. Descompusimos $\vec{u}$ en dos pedazos: uno en la dirección de $\vec{v}$, que es la proyección de b), y otro perpendicular, que es $\vec{w}$. Sumando los dos vuelve $\vec{u}$: $(4; 0) + (0; 3) = (4; 3)$.

Respuesta: $\vec{w} \cdot \vec{v} = 0$, son ortogonales

1. Calculamos las tres componentes. La primera es $2 \cdot 3 - 0 \cdot 1 = 6$, la segunda es $-(1 \cdot 3 - 0 \cdot 0) = -3$ y la tercera es $1 \cdot 1 - 2 \cdot 0 = 1$.

2. Verificamos. $\vec{n} \cdot \vec{u} = 0$ y $\vec{n} \cdot \vec{v} = 0$, así que es perpendicular a los dos.

3. Chequeamos que no sea nulo. Si diera el vector nulo, $\vec{u}$ y $\vec{v}$ serían paralelos y no determinarían ningún plano. Como no lo es, b) tiene sentido.

Respuesta: $\vec{n} = (6; -3; 1)$

b)

1. Usamos la normal de a). Los coeficientes de $x$, $y$ y $z$ son las componentes de $\vec{n}$: $6x - 3y + z = d$.

2. Imponemos que pase por $P$. Reemplazando $P(2; 1; -1)$ queda $6 \cdot 2 + (-3) \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = 8$.

3. Verificamos. El punto $P$ satisface la ecuación por construcción, y cualquier otro punto del plano se obtiene sumándole a $P$ combinaciones de $\vec{u}$ y $\vec{v}$, que son perpendiculares a la normal.

Respuesta: $\pi: 6x - 3y + z = 8$

c)

1. Tomamos el plano de b). $\pi$ es el que quedó en b), y su normal es la de a).

2. Comparamos las normales. La de $\pi$ es $(6; -3; 1)$ y la de $\sigma$ es $(12; -6; 2)$.

3. Vemos si una es múltiplo de la otra. $(12; -6; 2) = 2 \cdot (6; -3; 1)$, así que $\vec{n_\sigma} = 2\,\vec{n}$ y las normales son paralelas.

4. Descartamos que sean el mismo plano. Multiplicando la ecuación de $\pi$ por $2$ queda $12x - 6y + 2z = 16 = 16$, y $\sigma$ tiene $5$ del otro lado. Los términos independientes no coinciden.

Respuesta: son planos paralelos y distintos

d)

1. Miramos qué aporta c). Ahí vimos que $\pi$ y $\sigma$ son paralelos y distintos, así que medir contra uno o contra el otro no es lo mismo: la consigna pide la distancia a $\pi$, el de b).

2. Usamos la fórmula de distancia punto a plano. Con $\pi$ de b), es $\dfrac{|ax + by + cz - d|}{|\vec{n}|}$ evaluando en $Q$.

3. Evaluamos el numerador. $6 \cdot 1 + (-3) \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 4$, y restando el término independiente queda $|4 - 8| = 4$.

4. Calculamos el módulo de la normal. $|\vec{n}| = \sqrt{6^{2} + (-3)^{2} + 1^{2}} = \sqrt{46}$.

5. Dividimos. $d = \dfrac{4}{\sqrt{46}} = \dfrac{2 \sqrt{46}}{23}$.

Respuesta: $d(Q, \pi) = \dfrac{2 \sqrt{46}}{23}$

1. Escribimos punto más parámetro por director. $(x; y; z) = (1; 0; 2) + t\,(2; -1; 2)$.

2. Separamos las tres. $x = 1 + 2t$, $y = -t$, $z = 2 + 2t$.

3. Chequeamos con $t = 0$. Tiene que dar el punto de paso, y da $P$. Cualquier otro valor de $t$ da otro punto de la recta.

Respuesta: $x = 1 + 2t$, $y = -t$, $z = 2 + 2t$, recta que pasa por $(1; 0; 2)$ con director $(2; -1; 2)$

b)

1. Comparamos los directores. El de $r$ es $(2; -1; 2)$ y el de $s$ es $(4; -2; 4)$. Como $(4; -2; 4) = 2 \cdot (2; -1; 2)$, son paralelos.

2. Vemos si es la misma recta. Alcanza con probar si $Q(3; 1; 1)$ está en $r$. De la primera paramétrica, $1 + 2t = 3$ da $t = 1$.

3. Chequeamos ese $t$ en las otras dos. Con $t = 1$, la segunda da $y = -1$ y la tercera $z = 4$, pero $Q$ tiene $y = 1$ y $z = 1$.

Respuesta: son rectas paralelas y distintas

c)

1. Vemos que la distancia no va a dar cero. En b) quedó que $s$ es paralela a $r$ y distinta, y $R$ tampoco está sobre $r$: si lo estuviera, $\vec{PR}$ sería múltiplo del director.

2. Armamos el vector del punto de la recta al punto externo. $\vec{PR} = (2; 3; 4) - (1; 0; 2) = (1; 3; 2)$.

3. Calculamos $\vec{d} \times \vec{PR}$. Da $(-8; -2; 7)$.

4. Aplicamos la fórmula. $d = \dfrac{|\vec{d} \times \vec{PR}|}{|\vec{d}|} = \dfrac{\sqrt{(-8)^{2} + (-2)^{2} + 7^{2}}}{\sqrt{2^{2} + (-1)^{2} + 2^{2}}} = \dfrac{3 \sqrt{13}}{3} = \sqrt{13}$.

Respuesta: $d(R, r) = \sqrt{13}$

d)

1. Separamos esto de c). La distancia de c) no interviene acá: el ángulo entre recta y plano depende solo de las direcciones, no de dónde esté parada la recta.

2. Cuidado con qué ángulo se calcula. Entre recta y plano se usa el seno, no el coseno, porque el ángulo que forman es el complementario del que forman el director y la normal.

3. Hacemos el producto escalar. $\vec{d} \cdot \vec{n} = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + 2 \cdot 2 = 4$.

4. Calculamos los módulos. $|\vec{d}| = 3$ y $|\vec{n}| = 3$.

5. Aplicamos la fórmula. $\operatorname{sen}\alpha = \dfrac{|4|}{3 \cdot 3} = \dfrac{4}{9}$, y de ahí $\alpha \approx 26{,}3878^\circ$.

Respuesta: $\alpha \approx 26{,}3878^\circ$

1. Restamos extremo menos origen. $\vec{u} = (4; 2) - (1; -2) = (3; 4)$.

2. Miramos las componentes. Las dos son distintas de cero, así que sus cuadrados sirven como denominadores de la elipse de b).

3. Anotamos cuál es cuál. La primera componente va con $x$ y la segunda con $y$, y eso decide cuál va a ser el eje mayor.

Respuesta: $\vec{u} = (3; 4)$

b)

1. Leemos los denominadores. La elipse es $\dfrac{x^{2}}{9} + \dfrac{y^{2}}{16} = 1$, con los cuadrados de las componentes de $\vec{u}$ de a).

2. Sacamos los semiejes. El semieje sobre $x$ es $\sqrt{9} = 3$ y el semieje sobre $y$ es $\sqrt{16} = 4$.

3. Vemos cuál es el eje mayor. Como $4 > 3$, el eje mayor está sobre el eje $y$ y los focos van ahí.

4. Calculamos $c$. $c^{2} = 16 - 9 = 7$, así que $c = \sqrt{7}$.

Respuesta: semiejes $4$ y $3$, $c = \sqrt{7}$ y excentricidad $\dfrac{\sqrt{7}}{4}$

c)

1. Vemos qué queda fijo al girar. El giro es alrededor del eje $y$, así que $y$ no cambia y $x$ se reparte entre $x$ y $z$.

2. Reemplazamos $x^{2}$ por $x^{2} + z^{2}$. Queda $\dfrac{x^{2} + z^{2}}{9} + \dfrac{y^{2}}{16} = 1$, o sea $\dfrac{x^{2}}{9} + \dfrac{y^{2}}{16} + \dfrac{z^{2}}{9} = 1$.

3. Clasificamos. Los tres términos son positivos y suman uno: es un elipsoide. Como dos de los tres denominadores son iguales, es un elipsoide de revolución.

Respuesta: $\dfrac{x^{2}}{9} + \dfrac{y^{2}}{16} + \dfrac{z^{2}}{9} = 1$, un elipsoide de revolución de semiejes $3$, $4$ y $3$

d)

1. Calculamos $\rho$. Es la distancia al origen: $\rho = 4$.

2. Calculamos $\varphi$. Es el ángulo con el semieje $z$ positivo, y el punto está sobre el eje $y$, así que $\varphi = 90^\circ$.

3. Calculamos $\theta$. Es el ángulo en el plano $xy$ medido desde el semieje $x$ positivo. El punto proyecta en $(0; 4)$, que está sobre el semieje $y$ positivo, así que $\theta = 90^\circ$.

Respuesta: $(\rho; \theta; \varphi) = (4; 90^\circ; 90^\circ)$

1. Multiplicamos por el escalar. $2\,\vec{v} = (-2; 6)$.

2. Sumamos componente a componente. $\vec{w} = (3; -4) + (-2; 6) = (1; 2)$.

3. Chequeamos que no sea nulo. Hace falta para que b) pueda dividir por el módulo y para que d) lo pueda usar como director.

Respuesta: $\vec{w} = (1; 2)$

b)

1. Aplicamos Pitágoras. $|\vec{w}| = \sqrt{1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{5} = \sqrt{5}$.

2. Dividimos por el módulo. El versor es $\dfrac{1}{\sqrt{5}}\,(1; 2) = (\dfrac{\sqrt{5}}{5}; \dfrac{2 \sqrt{5}}{5})$.

3. Verificamos que el versor mida uno. $\sqrt{\dfrac{\sqrt{5}}{5}^{2} + \dfrac{2 \sqrt{5}}{5}^{2}} = 1$.

Respuesta: $|\vec{w}| = \sqrt{5}$ y el versor es $(\dfrac{\sqrt{5}}{5}; \dfrac{2 \sqrt{5}}{5})$

c)

1. Descartamos el caso degenerado. En b) el módulo de $\vec{w}$ dio distinto de cero, así que se puede hablar de paralelismo: el vector nulo es paralelo a todos y el criterio no diría nada.

2. Vemos si uno es múltiplo del otro. $\dfrac{2}{1} = 2$ y $\dfrac{4}{2} = 2$.

3. Concluimos. Las dos razones dan lo mismo, así que $\vec{a} = 2\,\vec{w}$ y son paralelos.

4. Miramos el sentido. La razón es positiva, así que además de paralelos apuntan para el mismo lado. Con razón negativa serían paralelos de sentidos opuestos.

Respuesta: sí, son paralelos, con razón $2$

d)

1. Sacamos una normal del director. Si el director es $(1; 2)$, una normal es $(-2; 1)$: se dan vuelta las componentes y se le cambia el signo a una.

2. Verificamos que sean perpendiculares. $(-2) \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 0$.

3. Planteamos la implícita. $-2x + y = d$.

4. Imponemos que pase por $P$. Reemplazando $P(2; 1)$ queda $(-2) \cdot 2 + 1 \cdot 1 = -3$.

Respuesta: $-2x + y = -3$

1. Multiplicamos componente a componente y sumamos. $\vec{u} \cdot \vec{v} = 6 \cdot 3 + 8 \cdot 0 = 18$.

2. Miramos el signo. Da positivo, así que el ángulo de b) va a ser agudo.

3. Anotamos para qué sirve. El mismo número es el numerador del coseno en b) y el de la proyección en c).

Respuesta: $\vec{u} \cdot \vec{v} = 18$

b)

1. Calculamos los módulos. $|\vec{u}| = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10$ y $|\vec{v}| = \sqrt{3^{2} + 0^{2}} = 3$.

2. Usamos el producto escalar de a). $\cos\alpha = \dfrac{18}{10 \cdot 3} = \dfrac{3}{5}$.

3. Despejamos. $\alpha = \arccos(\dfrac{3}{5}) \approx 53{,}1301^\circ$.

Respuesta: $\alpha \approx 53{,}1301^\circ$

c)

1. Anticipamos el sentido. El ángulo de b) es agudo, así que la proyección va a tener el mismo sentido que $\vec{v}$ y no el opuesto.

2. Calculamos $|\vec{v}|^{2}$. $\vec{v} \cdot \vec{v} = 9$.

3. Aplicamos la fórmula con el escalar de a). $\operatorname{proy}_{\vec{v}} \vec{u} = \dfrac{18}{9} \cdot (3; 0) = (6; 0)$.

4. Chequeamos que sea múltiplo de $\vec{v}$. Tiene que serlo, porque es la sombra de $\vec{u}$ sobre esa dirección, y lo es.

Respuesta: $\operatorname{proy}_{\vec{v}} \vec{u} = (6; 0)$

d)

1. Vemos qué es la distancia. El punto $P$ tiene las componentes de $\vec{u}$, y la recta tiene la dirección de $\vec{v}$. La distancia es el módulo de la parte de $\vec{u}$ perpendicular a $\vec{v}$, o sea de $\vec{u}$ menos la proyección de c).

2. Restamos. $\vec{w} = (6; 8) - (6; 0) = (0; 8)$.

3. Verificamos que sea perpendicular. $\vec{w} \cdot \vec{v} = 0$.

4. Tomamos el módulo. $d = \sqrt{0^{2} + 8^{2}} = 8$.

Respuesta: $d(P, r) = 8$

1. Armamos los dos vectores. $\vec{AB} = (2; 0; 0)$ y $\vec{AD} = (0; 0; 4)$.

2. Calculamos las componentes del producto vectorial. La primera es $0 \cdot 4 - 0 \cdot 0 = 0$, la segunda es $-(2 \cdot 4 - 0 \cdot 0) = -8$ y la tercera es $2 \cdot 0 - 0 \cdot 0 = 0$. Ojo con el signo del medio: la segunda componente lleva menos adelante.

3. Verificamos. El resultado tiene que ser perpendicular a los dos vectores de partida, y los dos productos escalares dan cero.

Respuesta: $\vec{AB} \times \vec{AD} = (0; -8; 0)$

b)

1. Recordamos la fórmula. El volumen del tetraedro es un sexto del producto mixto en módulo.

2. Calculamos $\vec{AB} \times \vec{AC}$. Da $(0; 0; 6)$.

3. Hacemos el escalar con $\vec{AD} = (0; 0; 4)$. $0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 6 \cdot 4 = 24$.

4. Dividimos por seis. $V = \dfrac{|24|}{6} = 4$.

Respuesta: volumen $= 4$

c)

1. Tomamos la normal de a). El plano que pasa por $A$, $B$ y $D$ contiene a $\vec{AB}$ y a $\vec{AD}$, así que la normal es el producto vectorial de a): $(0; -8; 0)$.

2. Planteamos la ecuación. $-8y = d$.

3. Imponemos que pase por $A$. Como $A$ es el origen, $d = 0$.

4. Verificamos con $B$ y con $D$. En los dos da $0$, porque las dos coordenadas $y$ son cero.

Respuesta: $-8y = 0$, que es el plano $xz$

d)

1. Aplicamos la fórmula. $d = \dfrac{|-8y|}{|\vec{n}|}$ con $\vec{n} = (0; -8; 0)$ de c).

2. Evaluamos en $E(1; 1; 1)$. $0 \cdot 1 + (-8) \cdot 1 + 0 \cdot 1 = -8$.

3. Calculamos el módulo de la normal. $|\vec{n}| = \sqrt{0^{2} + (-8)^{2} + 0^{2}} = 8$.

4. Dividimos. $d = \dfrac{8}{8} = 1$.

5. Lo leemos. El plano de c) es el $xz$, así que la distancia tiene que ser la coordenada $y$ del punto en módulo, y da eso.

Respuesta: $d(E, \pi) = 1$

1. Leemos punto y director de la vectorial. El punto de paso es el término sin $t$ y el director es el que multiplica a $t$.

2. Separamos las tres componentes. $x = 1 + t$, $y = 2 + t$, $z = t$.

3. Chequeamos con $t = 0$. Da el punto de paso, como tiene que ser.

Respuesta: $x = 1 + t$, $y = 2 + t$, $z = t$, recta que pasa por $(1; 2; 0)$ con director $(1; 1; 1)$

b)

1. Comparamos los directores. $(2; 2; 2) = 2 \cdot (1; 1; 1)$, así que son paralelos.

2. Vemos si $Q$ está en $r$. De la primera paramétrica, $1 + t = 2$ da $t = 1$.

3. Chequeamos ese $t$ en la segunda. Con $t = 1$ queda $y = 3$, pero $Q$ tiene $y = 0$.

4. Concluimos. Los directores son paralelos y $Q$ no está en $r$, así que no comparten ningún punto.

Respuesta: son rectas paralelas y distintas

c)

1. Notamos que b) no alcanza. Que $r$ y $s$ sean paralelas entre sí no dice nada sobre el plano: hay que comparar el director con la normal de $\pi$.

2. Comparamos director y normal. El director es $(1; 1; 1)$ y la normal del plano es $(1; 1; -1)$.

3. Hacemos el producto escalar. $1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = 1$.

4. Interpretamos. Da distinto de cero, así que el director no es perpendicular a la normal y la recta corta al plano en un punto. Si hubiera dado cero habría que mirar si la recta está contenida o es paralela.

5. Buscamos el parámetro. Reemplazando las paramétricas en la ecuación del plano: $(1 + t) + (2 + t) - (t) = 3$, que se reduce a $3 + t = 3$ y da $t = 0$.

6. Calculamos el punto. Con $t = 0$, el punto es (1; 2; 0).

7. Verificamos. Reemplazando en el plano: $1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + (-1) \cdot 0 = 3$.

Respuesta: $r$ y $\pi$ se cortan en el punto $(1; 2; 0)$, con $t = 0$

d)

1. Usamos el seno, no el coseno. Entre recta y plano, el ángulo que se pide es el complementario del que forman el director y la normal, y por eso la fórmula lleva seno.

2. Tomamos el escalar de c). $\vec{d} \cdot \vec{n} = 1$.

3. Calculamos los módulos. $|\vec{d}| = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{3}$ y $|\vec{n}| = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + (-1)^{2}} = \sqrt{3}$.

4. Aplicamos la fórmula. $\operatorname{sen}\alpha = \dfrac{|\vec{d} \cdot \vec{n}|}{|\vec{d}|\,|\vec{n}|} = \dfrac{1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \dfrac{1}{3}$.

5. Despejamos. $\alpha \approx 19{,}4712^\circ$.

Respuesta: $\alpha \approx 19{,}4712^\circ$

1. Aplicamos Pitágoras en el espacio. $|\vec{v}| = \sqrt{2^{2} + (-1)^{2} + 2^{2}} = \sqrt{9} = 3$.

2. Dividimos por el módulo. El versor es $(\dfrac{2}{3}; - \dfrac{1}{3}; \dfrac{2}{3})$.

3. Verificamos. $\dfrac{2}{3}^{2} + (- \dfrac{1}{3})^{2} + \dfrac{2}{3}^{2} = 1$.