Proyección ortogonal

Proyectar un vector sobre otro es preguntarse qué parte del primero va en la dirección del segundo. Geométricamente es la sombra que deja el primero sobre la recta del segundo.

El resultado es un vector que tiene la dirección del segundo. Se calcula multiplicando el versor de esa dirección por la longitud de la sombra.

Esa longitud se llama proyección escalar y sale del producto escalar dividido por el módulo del vector sobre el que se proyecta. Puede ser negativa, y eso significa que la sombra apunta en sentido contrario.

Hay que distinguir bien sobre cuál vector se proyecta, porque la proyección de uno sobre otro no es lo mismo que al revés. El orden importa y confundirlo es el error más común.

Todo vector se descompone en dos partes respecto de una dirección: la proyección, que va en esa dirección, y lo que queda, que es perpendicular. Esa descomposición aparece después en espacios vectoriales y en física.

\operatorname{proy} = ((u \cdot v) / |u|^{2}) u

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide descomponer un vector en una dirección dada, o calcular una sombra. Fijate bien cuál se proyecta sobre cuál. Lo que queda al restar la proyección es la componente perpendicular.

Ejemplo 1

Calcular la proyección de $v = (3, 4)$ sobre $u = (5, 0)$ .

Calculamos el producto escalar. $u \cdot v = 5 \cdot 3 \cdot 4 = 15$ .
Calculamos el módulo de u al cuadrado. $|u|^{2} = 25$ . Como está elevado al cuadrado, no hace falta sacar la raíz y volver a elevarla.
Armamos el escalar. $15 / 25 = 3/5$ .
Multiplicamos ese escalar por u. $(3/5)(5, 0) = (3, 0)$ .
Verificamos. El resultado es múltiplo de $u$ y mide $3$ , menos que $|v| = 5$ . Las dos cosas tienen que pasar siempre.
Respuesta: la proyección es $(3, 0)$

Ejemplo 2

Calcular la proyección de $v = (4, 3)$ sobre $u = (1, 2)$ .

Producto escalar. $1 \cdot 4 + 2 \cdot 3 = 10$ .
Módulo al cuadrado. $|u|^{2} = 1 + 4 = 5$ .
Escalar. $10 / 5 = 2$ .
Multiplicamos por u. $2 \cdot (1, 2) = (2, 4)$ .
Verificamos que sea múltiplo de u. $(2, 4)$ es $2$ veces $(1, 2)$ , y mide $\sqrt{20} \approx 4{,}5$ , menos que $|v| = 5$ .
Respuesta: la proyección es $(2, 4)$

Error típico

Dividir por |u| en lugar de $|u|^{2}$ . Con $u = (5, 0)$ eso daría $(15/5)(5, 0) = (15, 0)$ , un vector tres veces más largo que u, que ni siquiera entra en el dibujo. El control es rápido: la proyección nunca puede ser más larga que v.

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