Ejercicios: Proyección ortogonal

\operatorname{proy} = ((u \cdot v) / |u|^{2}) u

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Calculá la proyección ortogonal de $u = (8; -7; 4)$ sobre $v = (-4; 9; 7)$ .

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1. Identificamos sobre cuál se proyecta. Se proyecta $u$ sobre $v$ , así que el resultado va a tener la dirección de $v$ .

2. Escribimos la fórmula. $\operatorname{proy}_v u = \dfrac{u \cdot v}{|v|^2}\,v$

3. Calculamos las dos piezas. $u \cdot v = -67$ y $|v|^2 = 146$

4. Reemplazamos. $\operatorname{proy}_v u = \dfrac{-67}{146}(-4; 9; 7) = (\dfrac{134}{73}; - \dfrac{603}{146}; - \dfrac{469}{146})$

5. Controlamos. El resultado es múltiplo de $v$ . Si no lo fuera, hubo un error. Y el denominador va al cuadrado: dividir por $|v|$ sin elevar da un vector demasiado largo.

Respuesta: $\operatorname{proy}_v u = (\dfrac{134}{73}; - \dfrac{603}{146}; - \dfrac{469}{146})$

2. Descomponé $u = (-4; -4; 2)$ en una parte paralela a $v = (4; -4; -2)$ y otra perpendicular.

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1. Entendemos la descomposición. Todo vector se parte en dos: lo que va en la dirección de $v$ , que es la proyección, y lo que sobra, que es perpendicular.

2. Calculamos la parte paralela. $u_\parallel = \dfrac{-4}{36}(4; -4; -2) = (- \dfrac{4}{9}; \dfrac{4}{9}; \dfrac{2}{9})$

3. Restamos para obtener la perpendicular. $u_\perp = u - u_\parallel = (-4; -4; 2) - (- \dfrac{4}{9}; \dfrac{4}{9}; \dfrac{2}{9}) = (- \dfrac{32}{9}; - \dfrac{40}{9}; \dfrac{16}{9})$

4. Verificamos la perpendicularidad. $u_\perp \cdot v = 0$ , así que efectivamente es perpendicular a $v$ .

Respuesta: $u_\parallel = (- \dfrac{4}{9}; \dfrac{4}{9}; \dfrac{2}{9})$ y $u_\perp = (- \dfrac{32}{9}; - \dfrac{40}{9}; \dfrac{16}{9})$

3. Calculá la proyección escalar de $u = (6; 2; -6)$ sobre $v = (9; -1; -6)$ e interpretá su signo.

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1. Distinguimos escalar de vectorial. La proyección escalar es la longitud de la sombra, con signo. La vectorial es esa sombra como vector.

2. Escribimos la fórmula. $\operatorname{comp}_v u = \dfrac{u \cdot v}{|v|}$ , dividiendo por el módulo, no por su cuadrado.

3. Reemplazamos. $\operatorname{comp}_v u = \dfrac{88}{\sqrt{118}} \approx 8{,}1011$

4. Interpretamos el signo. La proyección escalar es positiva, así que la sombra apunta en el mismo sentido que $v$ .

Respuesta: $\operatorname{comp}_v u \approx 8{,}1011$

4. Compará la proyección de $u = (3; 8; 6)$ sobre $v = (-6; -8; 8)$ con la de $v$ sobre $u$ .

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1. Anticipamos la diferencia. El orden importa: proyectar $u$ sobre $v$ no es lo mismo que proyectar $v$ sobre $u$ , aunque el producto escalar sea el mismo.

2. Calculamos la primera. $\operatorname{proy}_v u = \dfrac{-34}{164}(-6; -8; 8) = (\dfrac{51}{41}; \dfrac{68}{41}; - \dfrac{68}{41})$

3. Calculamos la segunda. $\operatorname{proy}_u v = \dfrac{-34}{109}(3; 8; 6) = (- \dfrac{102}{109}; - \dfrac{272}{109}; - \dfrac{204}{109})$

4. Comparamos. Los resultados son distintos, y además apuntan en direcciones distintas: el primero es múltiplo de $v$ y el segundo de $u$ . Lo único que comparten es el numerador.

Respuesta: $\operatorname{proy}_v u = (\dfrac{51}{41}; \dfrac{68}{41}; - \dfrac{68}{41})$ y $\operatorname{proy}_u v = (- \dfrac{102}{109}; - \dfrac{272}{109}; - \dfrac{204}{109})$ , que son distintas

5. Calculá la proyección ortogonal de $u = (-2; -3; 6)$ sobre $v = (-7; 4; 5)$ .

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1. Identificamos sobre cuál se proyecta. Se proyecta $u$ sobre $v$ , así que el resultado va a tener la dirección de $v$ .

2. Escribimos la fórmula. $\operatorname{proy}_v u = \dfrac{u \cdot v}{|v|^2}\,v$

3. Calculamos las dos piezas. $u \cdot v = 32$ y $|v|^2 = 90$

4. Reemplazamos. $\operatorname{proy}_v u = \dfrac{32}{90}(-7; 4; 5) = (- \dfrac{112}{45}; \dfrac{64}{45}; \dfrac{16}{9})$

5. Controlamos. El resultado es múltiplo de $v$ . Si no lo fuera, hubo un error. Y el denominador va al cuadrado: dividir por $|v|$ sin elevar da un vector demasiado largo.

Respuesta: $\operatorname{proy}_v u = (- \dfrac{112}{45}; \dfrac{64}{45}; \dfrac{16}{9})$

6. Descomponé $u = (-4; -1; 2)$ en una parte paralela a $v = (9; 1; 3)$ y otra perpendicular.

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1. Entendemos la descomposición. Todo vector se parte en dos: lo que va en la dirección de $v$ , que es la proyección, y lo que sobra, que es perpendicular.

2. Calculamos la parte paralela. $u_\parallel = \dfrac{-31}{91}(9; 1; 3) = (- \dfrac{279}{91}; - \dfrac{31}{91}; - \dfrac{93}{91})$

3. Restamos para obtener la perpendicular. $u_\perp = u - u_\parallel = (-4; -1; 2) - (- \dfrac{279}{91}; - \dfrac{31}{91}; - \dfrac{93}{91}) = (- \dfrac{85}{91}; - \dfrac{60}{91}; \dfrac{275}{91})$

4. Verificamos la perpendicularidad. $u_\perp \cdot v = 0$ , así que efectivamente es perpendicular a $v$ .

Respuesta: $u_\parallel = (- \dfrac{279}{91}; - \dfrac{31}{91}; - \dfrac{93}{91})$ y $u_\perp = (- \dfrac{85}{91}; - \dfrac{60}{91}; \dfrac{275}{91})$

7. Calculá la proyección escalar de $u = (-2; -3; 9)$ sobre $v = (2; 3; 1)$ e interpretá su signo.

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1. Distinguimos escalar de vectorial. La proyección escalar es la longitud de la sombra, con signo. La vectorial es esa sombra como vector.

2. Escribimos la fórmula. $\operatorname{comp}_v u = \dfrac{u \cdot v}{|v|}$ , dividiendo por el módulo, no por su cuadrado.

3. Reemplazamos. $\operatorname{comp}_v u = \dfrac{-4}{\sqrt{14}} \approx -1{,}069$

4. Interpretamos el signo. La proyección escalar es negativa, así que la sombra apunta en sentido contrario a $v$ .

Respuesta: $\operatorname{comp}_v u \approx -1{,}069$

8. Compará la proyección de $u = (-4; 8; 7)$ sobre $v = (7; -9; 3)$ con la de $v$ sobre $u$ .

Ver solución

1. Anticipamos la diferencia. El orden importa: proyectar $u$ sobre $v$ no es lo mismo que proyectar $v$ sobre $u$ , aunque el producto escalar sea el mismo.

2. Calculamos la primera. $\operatorname{proy}_v u = \dfrac{-79}{139}(7; -9; 3) = (- \dfrac{553}{139}; \dfrac{711}{139}; - \dfrac{237}{139})$

3. Calculamos la segunda. $\operatorname{proy}_u v = \dfrac{-79}{129}(-4; 8; 7) = (\dfrac{316}{129}; - \dfrac{632}{129}; - \dfrac{553}{129})$

4. Comparamos. Los resultados son distintos, y además apuntan en direcciones distintas: el primero es múltiplo de $v$ y el segundo de $u$ . Lo único que comparten es el numerador.

Respuesta: $\operatorname{proy}_v u = (- \dfrac{553}{139}; \dfrac{711}{139}; - \dfrac{237}{139})$ y $\operatorname{proy}_u v = (\dfrac{316}{129}; - \dfrac{632}{129}; - \dfrac{553}{129})$ , que son distintas

9. Calculá la proyección ortogonal de $u = (5; -9; 4)$ sobre $v = (1; -2; 1)$ .

Ver solución

1. Identificamos sobre cuál se proyecta. Se proyecta $u$ sobre $v$ , así que el resultado va a tener la dirección de $v$ .

2. Escribimos la fórmula. $\operatorname{proy}_v u = \dfrac{u \cdot v}{|v|^2}\,v$

3. Calculamos las dos piezas. $u \cdot v = 27$ y $|v|^2 = 6$

4. Reemplazamos. $\operatorname{proy}_v u = \dfrac{27}{6}(1; -2; 1) = (\dfrac{9}{2}; -9; \dfrac{9}{2})$

5. Controlamos. El resultado es múltiplo de $v$ . Si no lo fuera, hubo un error. Y el denominador va al cuadrado: dividir por $|v|$ sin elevar da un vector demasiado largo.

Respuesta: $\operatorname{proy}_v u = (\dfrac{9}{2}; -9; \dfrac{9}{2})$

10. Descomponé $u = (-3; -3; -4)$ en una parte paralela a $v = (8; -4; -7)$ y otra perpendicular.

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1. Entendemos la descomposición. Todo vector se parte en dos: lo que va en la dirección de $v$ , que es la proyección, y lo que sobra, que es perpendicular.

2. Calculamos la parte paralela. $u_\parallel = \dfrac{16}{129}(8; -4; -7) = (\dfrac{128}{129}; - \dfrac{64}{129}; - \dfrac{112}{129})$

3. Restamos para obtener la perpendicular. $u_\perp = u - u_\parallel = (-3; -3; -4) - (\dfrac{128}{129}; - \dfrac{64}{129}; - \dfrac{112}{129}) = (- \dfrac{515}{129}; - \dfrac{323}{129}; - \dfrac{404}{129})$

4. Verificamos la perpendicularidad. $u_\perp \cdot v = 0$ , así que efectivamente es perpendicular a $v$ .

Respuesta: $u_\parallel = (\dfrac{128}{129}; - \dfrac{64}{129}; - \dfrac{112}{129})$ y $u_\perp = (- \dfrac{515}{129}; - \dfrac{323}{129}; - \dfrac{404}{129})$

11. Calculá la proyección escalar de $u = (4; -4; -7)$ sobre $v = (3; 7; 4)$ e interpretá su signo.

Ver solución

1. Distinguimos escalar de vectorial. La proyección escalar es la longitud de la sombra, con signo. La vectorial es esa sombra como vector.

2. Escribimos la fórmula. $\operatorname{comp}_v u = \dfrac{u \cdot v}{|v|}$ , dividiendo por el módulo, no por su cuadrado.

3. Reemplazamos. $\operatorname{comp}_v u = \dfrac{-44}{\sqrt{74}} \approx -5{,}1149$

4. Interpretamos el signo. La proyección escalar es negativa, así que la sombra apunta en sentido contrario a $v$ .

Respuesta: $\operatorname{comp}_v u \approx -5{,}1149$

12. Compará la proyección de $u = (-3; 6; 8)$ sobre $v = (-3; -2; 3)$ con la de $v$ sobre $u$ .

Ver solución

1. Anticipamos la diferencia. El orden importa: proyectar $u$ sobre $v$ no es lo mismo que proyectar $v$ sobre $u$ , aunque el producto escalar sea el mismo.

2. Calculamos la primera. $\operatorname{proy}_v u = \dfrac{21}{22}(-3; -2; 3) = (- \dfrac{63}{22}; - \dfrac{21}{11}; \dfrac{63}{22})$

3. Calculamos la segunda. $\operatorname{proy}_u v = \dfrac{21}{109}(-3; 6; 8) = (- \dfrac{63}{109}; \dfrac{126}{109}; \dfrac{168}{109})$

4. Comparamos. Los resultados son distintos, y además apuntan en direcciones distintas: el primero es múltiplo de $v$ y el segundo de $u$ . Lo único que comparten es el numerador.

Respuesta: $\operatorname{proy}_v u = (- \dfrac{63}{22}; - \dfrac{21}{11}; \dfrac{63}{22})$ y $\operatorname{proy}_u v = (- \dfrac{63}{109}; \dfrac{126}{109}; \dfrac{168}{109})$ , que son distintas

Integradores de Vectores, rectas y planos: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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