Método

Ejercicios: Producto vectorial

u×v=(u2v3−u3v2,u3v1−u1v3,u1v2−u2v1)u \times v = (u_{2}v_{3} - u_{3}v_{2}, u_{3}v_{1} - u_{1}v_{3}, u_{1}v_{2} - u_{2}v_{1})

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Calculá u×vu \times v con u=(5;3;−3)u = (5; 3; -3) y v=(7;−3;2)v = (7; -3; 2), y verificá el resultado.

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1. Escribimos la fórmula por componentes. Cada componente del resultado es un determinante de dos por dos, salteando la fila correspondiente y respetando los signos alternados.

2. Primera componente. 3⋅2−(−3)⋅(−3)=−33 \cdot 2 - (-3) \cdot (-3) = -3

3. Segunda componente. (−3)⋅7−5⋅2=−31(-3) \cdot 7 - 5 \cdot 2 = -31

4. Tercera componente. 5⋅(−3)−3⋅7=−365 \cdot (-3) - 3 \cdot 7 = -36

5. Verificamos la perpendicularidad. (u×v)⋅u=0(u \times v) \cdot u = 0 y (u×v)⋅v=0(u \times v) \cdot v = 0. Los dos dan cero, así que el resultado es perpendicular a los dos originales.

Respuesta: u×v=(−3;−31;−36)u \times v = (-3; -31; -36)

2. Calculá el área del paralelogramo que forman u=(−1;−9;4)u = (-1; -9; 4) y v=(−1;2;8)v = (-1; 2; 8).

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1. Conectamos área con producto vectorial. El módulo del producto vectorial es exactamente el área del paralelogramo que arman los dos vectores.

2. Calculamos el producto vectorial. u×v=(−80;4;−11)u \times v = (-80; 4; -11)

3. Tomamos su módulo. ∣u×v∣=(−80)2+42+(−11)2=6537|u \times v| = \sqrt{(-80)^2 + 4^2 + (-11)^2} = \sqrt{6537}

4. Resolvemos. El área es 6537≈80,8517\sqrt{6537} \approx 80{,}8517.

5. Controlamos. Si el producto vectorial hubiera dado el vector nulo, el área sería cero y eso significaría que los vectores son paralelos.

Respuesta: el área es 6537≈80,8517\sqrt{6537} \approx 80{,}8517

3. Calculá el área del triángulo de vértices A=(9;−7;−6)A = (9; -7; -6), B=(−7;−9;−3)B = (-7; -9; -3) y C=(1;−7;2)C = (1; -7; 2).

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1. Relacionamos triángulo y paralelogramo. El triángulo es la mitad del paralelogramo que arman los dos lados que salen del mismo vértice.

2. Armamos los dos vectores. AB⃗=(−16;−2;3)\vec{AB} = (-16; -2; 3) y AC⃗=(−8;0;8)\vec{AC} = (-8; 0; 8)

3. Calculamos el producto vectorial. AB⃗×AC⃗=(−16;104;−16)\vec{AB} \times \vec{AC} = (-16; 104; -16)

4. Tomamos módulo y dividimos por dos. A=113282≈53,2165A = \dfrac{\sqrt{11328}}{2} \approx 53{,}2165

5. Controlamos. Olvidarse de dividir por dos da el área del paralelogramo, que es el doble.

Respuesta: el área es 113282≈53,2165\dfrac{\sqrt{11328}}{2} \approx 53{,}2165

4. Calculá u×vu \times v y v×uv \times u con u=(−7;−5;1)u = (-7; -5; 1) y v=(8;−1;7)v = (8; -1; 7), y comparalos.

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1. Calculamos el primero. u×v=(−34;57;47)u \times v = (-34; 57; 47)

2. Calculamos el segundo, invirtiendo el orden. v×u=(34;−57;−47)v \times u = (34; -57; -47)

3. Comparamos. Los dos resultados tienen las mismas componentes con los signos cambiados: son vectores opuestos.

4. Concluimos. El producto vectorial no es conmutativo. Invertir el orden da el vector opuesto, o sea la misma dirección con sentido contrario. Es la diferencia principal con el producto escalar.

Respuesta: u×v=(−34;57;47)u \times v = (-34; 57; 47) y v×u=(34;−57;−47)v \times u = (34; -57; -47), que son opuestos

5. Calculá u×vu \times v con u=(5;−4;−2)u = (5; -4; -2) y v=(5;9;−1)v = (5; 9; -1), y verificá el resultado.

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1. Escribimos la fórmula por componentes. Cada componente del resultado es un determinante de dos por dos, salteando la fila correspondiente y respetando los signos alternados.

2. Primera componente. (−4)⋅(−1)−(−2)⋅9=22(-4) \cdot (-1) - (-2) \cdot 9 = 22

3. Segunda componente. (−2)⋅5−5⋅(−1)=−5(-2) \cdot 5 - 5 \cdot (-1) = -5

4. Tercera componente. 5⋅9−(−4)⋅5=655 \cdot 9 - (-4) \cdot 5 = 65

5. Verificamos la perpendicularidad. (u×v)⋅u=0(u \times v) \cdot u = 0 y (u×v)⋅v=0(u \times v) \cdot v = 0. Los dos dan cero, así que el resultado es perpendicular a los dos originales.

Respuesta: u×v=(22;−5;65)u \times v = (22; -5; 65)

6. Calculá el área del paralelogramo que forman u=(7;8;−5)u = (7; 8; -5) y v=(−2;−5;4)v = (-2; -5; 4).

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1. Conectamos área con producto vectorial. El módulo del producto vectorial es exactamente el área del paralelogramo que arman los dos vectores.

2. Calculamos el producto vectorial. u×v=(7;−18;−19)u \times v = (7; -18; -19)

3. Tomamos su módulo. ∣u×v∣=72+(−18)2+(−19)2=734|u \times v| = \sqrt{7^2 + (-18)^2 + (-19)^2} = \sqrt{734}

4. Resolvemos. El área es 734≈27,0924\sqrt{734} \approx 27{,}0924.

5. Controlamos. Si el producto vectorial hubiera dado el vector nulo, el área sería cero y eso significaría que los vectores son paralelos.

Respuesta: el área es 734≈27,0924\sqrt{734} \approx 27{,}0924

7. Calculá el área del triángulo de vértices A=(2;−6;3)A = (2; -6; 3), B=(−4;5;9)B = (-4; 5; 9) y C=(3;7;−5)C = (3; 7; -5).

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1. Relacionamos triángulo y paralelogramo. El triángulo es la mitad del paralelogramo que arman los dos lados que salen del mismo vértice.

2. Armamos los dos vectores. AB⃗=(−6;11;6)\vec{AB} = (-6; 11; 6) y AC⃗=(1;13;−8)\vec{AC} = (1; 13; -8)

3. Calculamos el producto vectorial. AB⃗×AC⃗=(−166;−42;−89)\vec{AB} \times \vec{AC} = (-166; -42; -89)

4. Tomamos módulo y dividimos por dos. A=372412≈96,4896A = \dfrac{\sqrt{37241}}{2} \approx 96{,}4896

5. Controlamos. Olvidarse de dividir por dos da el área del paralelogramo, que es el doble.

Respuesta: el área es 372412≈96,4896\dfrac{\sqrt{37241}}{2} \approx 96{,}4896

8. Calculá u×vu \times v y v×uv \times u con u=(5;−3;2)u = (5; -3; 2) y v=(−9;5;2)v = (-9; 5; 2), y comparalos.

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1. Calculamos el primero. u×v=(−16;−28;−2)u \times v = (-16; -28; -2)

2. Calculamos el segundo, invirtiendo el orden. v×u=(16;28;2)v \times u = (16; 28; 2)

3. Comparamos. Los dos resultados tienen las mismas componentes con los signos cambiados: son vectores opuestos.

4. Concluimos. El producto vectorial no es conmutativo. Invertir el orden da el vector opuesto, o sea la misma dirección con sentido contrario. Es la diferencia principal con el producto escalar.

Respuesta: u×v=(−16;−28;−2)u \times v = (-16; -28; -2) y v×u=(16;28;2)v \times u = (16; 28; 2), que son opuestos

9. Calculá u×vu \times v con u=(−1;−3;4)u = (-1; -3; 4) y v=(−5;−6;−4)v = (-5; -6; -4), y verificá el resultado.

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1. Escribimos la fórmula por componentes. Cada componente del resultado es un determinante de dos por dos, salteando la fila correspondiente y respetando los signos alternados.

2. Primera componente. (−3)⋅(−4)−4⋅(−6)=36(-3) \cdot (-4) - 4 \cdot (-6) = 36

3. Segunda componente. 4⋅(−5)−(−1)⋅(−4)=−244 \cdot (-5) - (-1) \cdot (-4) = -24

4. Tercera componente. (−1)⋅(−6)−(−3)⋅(−5)=−9(-1) \cdot (-6) - (-3) \cdot (-5) = -9

5. Verificamos la perpendicularidad. (u×v)⋅u=0(u \times v) \cdot u = 0 y (u×v)⋅v=0(u \times v) \cdot v = 0. Los dos dan cero, así que el resultado es perpendicular a los dos originales.

Respuesta: u×v=(36;−24;−9)u \times v = (36; -24; -9)

10. Calculá el área del paralelogramo que forman u=(−8;−9;−3)u = (-8; -9; -3) y v=(−5;−7;−7)v = (-5; -7; -7).

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1. Conectamos área con producto vectorial. El módulo del producto vectorial es exactamente el área del paralelogramo que arman los dos vectores.

2. Calculamos el producto vectorial. u×v=(42;−41;11)u \times v = (42; -41; 11)

3. Tomamos su módulo. ∣u×v∣=422+(−41)2+112=3566|u \times v| = \sqrt{42^2 + (-41)^2 + 11^2} = \sqrt{3566}

4. Resolvemos. El área es 3566≈59,716\sqrt{3566} \approx 59{,}716.

5. Controlamos. Si el producto vectorial hubiera dado el vector nulo, el área sería cero y eso significaría que los vectores son paralelos.

Respuesta: el área es 3566≈59,716\sqrt{3566} \approx 59{,}716

11. Calculá el área del triángulo de vértices A=(2;−9;−5)A = (2; -9; -5), B=(3;−8;1)B = (3; -8; 1) y C=(−8;7;−9)C = (-8; 7; -9).

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1. Relacionamos triángulo y paralelogramo. El triángulo es la mitad del paralelogramo que arman los dos lados que salen del mismo vértice.

2. Armamos los dos vectores. AB⃗=(1;1;6)\vec{AB} = (1; 1; 6) y AC⃗=(−10;16;−4)\vec{AC} = (-10; 16; -4)

3. Calculamos el producto vectorial. AB⃗×AC⃗=(−100;−56;26)\vec{AB} \times \vec{AC} = (-100; -56; 26)

4. Tomamos módulo y dividimos por dos. A=138122≈58,7622A = \dfrac{\sqrt{13812}}{2} \approx 58{,}7622

5. Controlamos. Olvidarse de dividir por dos da el área del paralelogramo, que es el doble.

Respuesta: el área es 138122≈58,7622\dfrac{\sqrt{13812}}{2} \approx 58{,}7622

12. Calculá u×vu \times v y v×uv \times u con u=(−8;−9;8)u = (-8; -9; 8) y v=(6;1;−5)v = (6; 1; -5), y comparalos.

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1. Calculamos el primero. u×v=(37;8;46)u \times v = (37; 8; 46)

2. Calculamos el segundo, invirtiendo el orden. v×u=(−37;−8;−46)v \times u = (-37; -8; -46)

3. Comparamos. Los dos resultados tienen las mismas componentes con los signos cambiados: son vectores opuestos.

4. Concluimos. El producto vectorial no es conmutativo. Invertir el orden da el vector opuesto, o sea la misma dirección con sentido contrario. Es la diferencia principal con el producto escalar.

Respuesta: u×v=(37;8;46)u \times v = (37; 8; 46) y v×u=(−37;−8;−46)v \times u = (-37; -8; -46), que son opuestos

Integradores de Vectores, rectas y planos: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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