Método

Producto vectorial

El producto vectorial toma dos vectores del espacio y devuelve otro vector, a diferencia del escalar que devolvía un número. Solo existe en tres dimensiones.

Lo que caracteriza al resultado es que es perpendicular a los dos vectores originales a la vez. Esa es la propiedad que lo hace útil: es la forma de encontrar una dirección perpendicular a un plano.

Se calcula con un determinante simbólico, poniendo los versores canónicos en la primera fila y las componentes de cada vector en las otras dos. Al desarrollarlo hay que respetar los signos alternados.

El módulo del resultado es el área del paralelogramo que forman los dos vectores. Si son paralelos, ese paralelogramo es degenerado y el producto vectorial da el vector nulo.

A diferencia del escalar, este producto no es conmutativo: invertir el orden cambia el sentido del resultado. Ese detalle es el que más se olvida y cambia el signo de todo lo que venga después.

u×v=(u2v3−u3v2,u3v1−u1v3,u1v2−u2v1)u \times v = (u_{2}v_{3} - u_{3}v_{2}, u_{3}v_{1} - u_{1}v_{3}, u_{1}v_{2} - u_{2}v_{1})
Cuándo se usa

Cuando hace falta un vector perpendicular a otros dos, típicamente para hallar el normal de un plano. También para calcular el área de un paralelogramo o un triángulo. Cuidado con el orden: invertirlo cambia el sentido.

Ejemplo 1

Calcular u×vu \times v con u=(2,1,0)u = (2, 1, 0) y v=(0,3,1)v = (0, 3, 1), y verificar el resultado.

Primera componente: se tapan las primeras. u2v3−u3v2=1⋅1⋅3=1u_{2}v_{3} - u_{3}v_{2} = 1 \cdot 1 \cdot 3 = 1.
Segunda componente: se tapan las segundas y se invierte el orden. u3v1−u1v3=0⋅0−2⋅1=−2u_{3}v_{1} - u_{1}v_{3} = 0 \cdot 0 - 2 \cdot 1 = -2.
Tercera componente: se tapan las terceras. u1v2−u2v1=2⋅3−1⋅0=6u_{1}v_{2} - u_{2}v_{1} = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 0 = 6.
Escribimos el resultado. u×v=(1,−2,6)u \times v = (1, -2, 6).
Verificamos con los dos productos escalares. (2,1,0)⋅(1,−2,6)=2−2=0(2, 1, 0) \cdot (1, -2, 6) = 2 - 2 = 0 y (0,3,1)⋅(1,−2,6)=0−6+6=0(0, 3, 1) \cdot (1, -2, 6) = 0 - 6 + 6 = 0. Es perpendicular a los dos, así que está bien.
Respuesta: u×v=(1,−2,6)u \times v = (1, -2, 6)

Ejemplo 2

Calcular el área del paralelogramo que arman u=(1,2,0)u = (1, 2, 0) y v=(3,1,0)v = (3, 1, 0).

Sabemos qué hay que calcular. El área es el módulo del producto vectorial.
Calculamos las dos primeras componentes. Como las terceras son cero, la primera da 2⋅0⋅1=02 \cdot 0 \cdot 1 = 0 y la segunda 0⋅3−1⋅0=00 \cdot 3 - 1 \cdot 0 = 0.
Calculamos la tercera. 1⋅1−2⋅3=1−6=−51 \cdot 1 - 2 \cdot 3 = 1 - 6 = -5.
Armamos el vector. u×v=(0,0,−5)u \times v = (0, 0, -5). Los dos estaban en el piso, así que el resultado es vertical.
Tomamos el módulo. ∣(0,0,−5)∣=5|(0, 0, -5)| = 5.
Respuesta: el área es 55

Error típico

Aplicarlo a vectores del plano: el producto vectorial necesita tres componentes y en R2R^{2} no está definido. Si hace falta un área, se completan los dos vectores con una tercera componente cero.

Practicar

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Otros subtemas de Vectores, rectas y planos

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