Ecuación vectorial y paramétrica

Para determinar una recta hacen falta dos datos: un punto por el que pasa y una dirección. La dirección se da con un vector, llamado vector director.

La ecuación vectorial dice que los puntos de la recta se obtienen partiendo del punto conocido y avanzando un múltiplo del director. Ese múltiplo es el parámetro, y cada valor del parámetro da un punto distinto de la recta.

Escribiendo esa igualdad componente a componente se obtienen las ecuaciones paramétricas: una por cada coordenada, todas compartiendo el mismo parámetro.

Ni el punto ni el director son únicos. Cualquier punto de la recta sirve, y cualquier múltiplo del director también. Por eso dos ecuaciones que se ven distintas pueden describir la misma recta, y verificarlo es un ejercicio frecuente.

Si el enunciado da dos puntos en vez de un punto y una dirección, el director sale de restarlos. Es el caso más común en los ejercicios.

P = P_{0} + t d

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio da un punto y una dirección, o dos puntos, y pide la recta. Si da dos puntos, restalos para obtener el director. Para verificar si un punto pertenece, reemplazá y fijate si el parámetro sale igual en todas las coordenadas.

Ejemplo 1

Escribir las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por $P_{0}(1, 1, 0)$ con director $d = (1, 1, 1)$ , y hallar el punto correspondiente a $t = 2$ .

Escribimos la ecuación vectorial. $(x, y, z) = (1, 1, 0) + t (1, 1, 1)$ .
La abrimos componente a componente. $x = 1 + t$ , $y = 1 + t$ , $z = t$ .
Reemplazamos t por $2$ . $x = 3$ , $y = 3$ , $z = 2$ .
Escribimos el punto. Es $(3, 3, 2)$ .
Verificamos que esté en la recta. Restamos $P_{0}$ : $(3, 3, 2) - (1, 1, 0) = (2, 2, 2)$ , que es $2d$ . Es múltiplo del director, así que el punto pertenece a la recta.
Respuesta: $x = 1 + t$ , $y = 1 + t$ , $z = t$

Ejemplo 2

Hallar la ecuación vectorial de la recta que pasa por $A(1, 2, 3)$ y $B(4, 0, 5)$ .

Nos falta el director. Tenemos dos puntos, así que el director sale de restarlos.
Calculamos AB. $B - A = (4 - 1, 0 - 2, 5 - 3) = (3, -2, 2)$ .
Elegimos un punto de referencia. Cualquiera de los dos sirve. Tomamos $A$ .
Escribimos la ecuación. $(x, y, z) = (1, 2, 3) + t (3, -2, 2)$ .
Controlamos con el otro punto. Con $t = 1$ se obtiene $(4, 0, 5)$ , que es $B$ . La recta pasa por los dos.
Respuesta: $(x, y, z) = (1, 2, 3) + t (3, -2, 2)$

Error típico

Contestar que dos rectas son distintas porque sus ecuaciones no coinciden. Antes de decidir eso hay que comprobar dos cosas: si los directores son paralelos y si el punto de una pertenece a la otra. Si las dos cosas pasan, es la misma recta escrita de otra forma.

Practicar

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