Posiciones relativas con planos

Dos planos pueden ser coincidentes, paralelos o cortarse en una recta. No hay más opciones: dos planos nunca se cortan en un solo punto.

Se decide comparando los normales. Si son paralelos, los planos son paralelos o coincidentes, y se distingue tomando un punto de uno y verificando si cumple la ecuación del otro.

Si los normales no son paralelos, los planos se cortan, y la recta de intersección se halla resolviendo el sistema de las dos ecuaciones. Queda un sistema con un grado de libertad, que es justamente el parámetro de la recta.

Entre una recta y un plano hay tres casos. La recta puede estar contenida, ser paralela sin tocarlo, o cortarlo en un punto.

Ahí lo que se compara es el director de la recta con el normal del plano. Si son perpendiculares, o sea si su producto escalar da cero, la recta es paralela al plano o está contenida. Para distinguir, se toma un punto de la recta y se verifica si cumple la ecuación.

\pi _{1} \parallel \pi _{2}

n_{1}

es múltiplo de

n_{2}

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio da dos planos, o una recta y un plano, y pide la posición relativa. Con dos planos compará los normales. Con recta y plano, hacé el producto escalar entre el director y el normal.

Ejemplo 1

Clasificar los planos $\pi _{1}: 2x - y + z = 1$ y $\pi _{2}: 4x - 2y + 2z = 7$ .

Leemos las dos normales. $n_{1} = (2, -1, 1)$ y $n_{2} = (4, -2, 2)$ .
Comparamos. $n_{2}$ es el doble de $n_{1}$ , así que son paralelos.
Falta ver si son el mismo plano. Buscamos un punto de $\pi _{1}$ : con $y = z = 0$ queda $2x = 1$ , o sea $(1/2, 0, 0)$ .
Probamos ese punto en $\pi _{2}$ . $4 \cdot (1/2) = 2$ , y la ecuación pide $7$ .
Concluimos. No lo cumple, así que son planos paralelos distintos. Si hubiera dado $7$ serían el mismo plano escrito de dos formas.
Respuesta: son paralelos y distintos

Ejemplo 2

Decidir la posición de la recta $(1, 0, 0) + t (1, 2, 0)$ respecto del plano $2x - y + 3z = 5$ .

Leemos el director y la normal. $d = (1, 2, 0)$ y $n = (2, -1, 3)$ .
Calculamos el producto escalar. $1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + 0 \cdot 3 = 2 - 2 + 0 = 0$ .
Interpretamos ese cero. El director es perpendicular a la normal, así que la recta no atraviesa el plano: o es paralela o está contenida.
Probamos el punto de la recta en el plano. Con $(1, 0, 0)$ : $2 \cdot 1 = 2$ , y la ecuación pide $5$ .
Concluimos. El punto no está en el plano, así que la recta es paralela al plano y no está contenida en él.
Respuesta: la recta es paralela al plano

Error típico

Concluir que la recta es paralela al plano solo porque $d \cdot n = 0$ . Esa condición también la cumple una recta que está contenida en el plano. Para distinguirlas hay que probar si un punto de la recta satisface la ecuación del plano.

Practicar

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