Ecuación simétrica e implícita

La ecuación simétrica se obtiene despejando el parámetro de cada ecuación paramétrica e igualando todas las expresiones. Queda una cadena de igualdades sin parámetro.

Su ventaja es que se lee de un vistazo: los números que restan a cada variable son las coordenadas del punto, y los denominadores son las componentes del director.

Tiene una limitación: si alguna componente del director es cero, no se puede dividir. En ese caso esa coordenada se escribe aparte como una condición constante.

La ecuación implícita es distinta según la dimensión. En el plano, una recta se describe con una sola ecuación lineal. En el espacio hace falta un sistema de dos, porque una recta espacial es la intersección de dos planos.

Cada forma sirve para algo distinto. La paramétrica es cómoda para generar puntos, la simétrica para leer los datos, y la implícita para intersecar con otras figuras.

(x - x_{0})/d_{1} = (y - y_{0})/d_{2} = (z - z_{0})/d_{3}

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide pasar de una forma a otra, o cuando da la recta en una forma y hace falta otra para el cálculo. Si alguna componente del director es cero, esa coordenada va como condición aparte.

Ejemplo 1

Pasar a forma simétrica la recta $x = 2 + 3t$ , $y = 1 - t$ , $z = 4t$ .

Leemos el punto y el director. $P_{0} = (2, 1, 0)$ y $d = (3, -1, 4)$ .
Despejamos t en cada renglón. $t = (x - 2)/3$ , $t = (y - 1)/(-1)$ y $t = z/4$ .
Igualamos las tres expresiones. Como las tres valen $t$ , valen lo mismo entre sí.
Escribimos la simétrica. $(x - 2)/3 = (y - 1)/(-1) = z/4$ .
Controlamos. Los denominadores son las componentes del director y los números que se restan son las del punto. Si eso no coincide, hubo un error.
Respuesta: $(x - 2)/3 = (y - 1)/(-1) = z/4$

Ejemplo 2

Hallar el director y dos puntos de la recta $4x + 3y = 12$ .

Identificamos el normal. Los coeficientes son el vector normal: $n = (4, 3)$ .
Fabricamos el director. Intercambiamos y cambiamos un signo: $d = (3, -4)$ .
Verificamos con el producto escalar. $(4, 3) \cdot (3, -4) = 12 - 12 = 0$ . Son perpendiculares, así que el director está bien.
Buscamos los cortes con los ejes. Con $y = 0$ queda $4x = 12$ , o sea $x = 3$ . Con $x = 0$ queda $3y = 12$ , o sea $y = 4$ .
Escribimos los dos puntos. $(3, 0)$ y $(0, 4)$ . Se puede controlar que $(0, 4) - (3, 0) = (-3, 4)$ , que es múltiplo del director.
Respuesta: $d = (3, -4)$ , y los puntos $(3, 0)$ y $(0, 4)$

Error típico

Usar la ecuación simétrica cuando alguna componente del director es cero. Con $d = (1, 0, 2)$ el denominador del medio se anula y la expresión no tiene sentido. En ese caso se deja esa variable constante aparte y se igualan solo las otras dos.

Practicar

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