Coordenadas polares, cilíndricas y esféricas

Las coordenadas cartesianas ubican un punto diciendo cuánto avanzar en cada eje. Hay otras formas de ubicarlo que en algunos problemas son mucho más cómodas.

En el plano están las polares: en vez de dos avances se da una distancia al origen y un ángulo. Una circunferencia centrada en el origen, que en cartesianas necesita una ecuación de segundo grado, en polares es simplemente el radio constante.

El pasaje de polares a cartesianas es directo con seno y coseno. La vuelta usa Pitágoras para el radio y el arcotangente para el ángulo, con cuidado del cuadrante, porque el arcotangente no distingue entre puntos opuestos.

En el espacio hay dos extensiones. Las cilíndricas son las polares del plano más la altura sin tocar: sirven para superficies con simetría alrededor de un eje. Las esféricas usan la distancia al origen y dos ángulos, y son las naturales para todo lo que tenga simetría respecto de un punto.

El criterio para elegir es mirar la simetría del problema. Bien elegidas, las coordenadas convierten una ecuación complicada en una casi trivial.

x = r\cos\theta, \quad y = r\operatorname{sen}\theta, \quad r^{2} = x^{2} + y^{2}

Cuándo se usa

Cuando el problema tiene simetría circular o esférica. Polares para circunferencias en el plano, cilíndricas para cilindros y conos, esféricas para esferas. Al pasar a polares, mirá el cuadrante antes de dar el ángulo.

Ejemplo 1

Pasar el punto $(3, 4)$ a coordenadas polares.

Calculamos el radio con Pitágoras. Es $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ .
Calculamos el ángulo. Es el arcotangente de $\frac{4}{3}$ .
Verificamos el cuadrante. Las dos coordenadas son positivas, así que el punto está en el primero y el arcotangente da el ángulo correcto.
Respuesta: $r = 5$ , $\theta = \arctan\frac{4}{3}$

Ejemplo 2

Pasar el punto polar $r = 2$ , $\theta = \frac{\pi}{3}$ a cartesianas.

Aplicamos la fórmula de $x$ . Es $2\cos\frac{\pi}{3} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ .
Aplicamos la de $y$ . Es $2\operatorname{sen}\frac{\pi}{3} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ .
Verificamos con Pitágoras. La suma de los cuadrados da $1 + 3 = 4$ , que es el radio al cuadrado.
Respuesta: $(1, \sqrt{3})$

Error típico

Calcular el ángulo con el arcotangente sin mirar el cuadrante. Dos puntos opuestos dan el mismo cociente y hay que corregir a mano.

Practicar

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