Módulo, dirección y sentido

El módulo de un vector es su longitud, y se calcula con Pitágoras: la raíz de la suma de los cuadrados de las componentes. Vale tanto en el plano como en el espacio, sumando un término más.

El módulo nunca es negativo, y vale cero solo para el vector nulo. Si una cuenta da un módulo negativo, hay un error.

La dirección es la recta sobre la que está apoyado el vector, y el sentido es hacia qué lado de esa recta apunta. Dos vectores opuestos comparten dirección y módulo pero tienen sentidos contrarios.

Un versor es un vector de módulo uno. Sirve para indicar una dirección sin arrastrar una longitud, y se obtiene dividiendo cualquier vector por su propio módulo. Esa operación se llama normalizar.

Los versores canónicos son los que apuntan en la dirección de cada eje. Cualquier vector se escribe como combinación de ellos, con sus componentes como coeficientes.

|v| = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}}

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide la longitud de un vector, la distancia entre dos puntos, o un versor en cierta dirección. Para normalizar, dividí cada componente por el módulo.

Ejemplo 1

Calcular el módulo de $v = (-5, 12)$ .

Escribimos la fórmula. El módulo es $\sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}}$ , con las componentes elevadas al cuadrado.
Elevamos al cuadrado cada componente. $(-5)^{2} = 25$ y $12^{2} = 144$ . El signo menos desaparece al elevar, y por eso el módulo nunca sale negativo.
Sumamos. $25 + 144 = 169$ .
Extraemos la raíz. $\sqrt{169} = 13$ , porque $13^{2} = 169$ .
Interpretamos. La flecha mide $13$ unidades, aunque apunte hacia la izquierda.
Respuesta: $|v| = 13$

Ejemplo 2

Hallar el versor de $v = (3, 4)$ y verificar que mide $1$ .

Calculamos primero el módulo. $|v| = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ .
Dividimos el vector por su módulo. Se divide cada componente: $(3/5, 4/5)$ .
Pasamos a decimal para verlo mejor. $(0{,}6; 0{,}8)$ . Apunta igual que $v$ , porque dividir por $5$ es multiplicar por un escalar positivo.
Verificamos el módulo del versor. $\sqrt{0{,}36 + 0{,}64} = \sqrt{1} = 1$ .
Concluimos. Quedó un vector de la misma dirección y el mismo sentido, pero de longitud $1$ .
Respuesta: el versor es $(3/5, 4/5)$

Error típico

Escribir $|v| = v_{1} + v_{2}$ , sumando las componentes en lugar de elevarlas al cuadrado. Con $v = (3, 4)$ eso daría $7 y$ el módulo es $5$ . El otro error es dar un módulo negativo: no existe.

Practicar

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Otros subtemas de Vectores, rectas y planos

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