Superficies cuádricas

Las cuádricas son el equivalente de las cónicas en tres dimensiones: superficies descriptas por ecuaciones de segundo grado en tres variables.

El método para reconocerlas es cortar con planos y ver qué curva queda. Si se fija una de las variables, la ecuación baja a dos variables y lo que aparece es una cónica conocida. Esas curvas se llaman trazas.

El elipsoide tiene los tres términos positivos y sumando. Todas sus trazas son elipses, y es una superficie cerrada. Si los tres denominadores son iguales, es una esfera.

Los hiperboloides tienen algún signo negativo. Con un solo término negativo la superficie es de una hoja, con forma de cintura. Con dos negativos es de dos hojas, dos tapas separadas.

El cono es el caso de borde entre los dos hiperboloides: la ecuación iguala a cero en vez de a uno.

Los paraboloides tienen una variable de primer grado. Si los dos términos cuadráticos suman es elíptico, con forma de copa; si restan es hiperbólico, la silla de montar.

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1 \ \text{(elipsoide)}

Cuándo se usa

Cuando la ecuación tiene tres variables y alguna al cuadrado. Cortá con planos fijando una variable y mirá qué cónica queda. Contá los signos negativos: uno da hiperboloide de una hoja y dos de dos hojas.

Ejemplo 1

Identificar la superficie $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$ .

Contamos los signos. Los tres términos son positivos y suman.
Comparamos los coeficientes. Los tres son iguales.
Cortamos con $z = 0$ . Queda $x^{2} + y^{2} = 9$ , una circunferencia.
Concluimos. Es una esfera de radio $3$ centrada en el origen.
Respuesta: esfera de radio $3$

Ejemplo 2

Identificar la superficie $z = x^{2} + y^{2}$ .

Miramos los grados. La variable $z$ está a la primera y las otras dos al cuadrado: es un paraboloide.
Miramos el signo entre los cuadráticos. Suman, así que es elíptico.
Cortamos con $z = 4$ . Queda $x^{2} + y^{2} = 4$ , una circunferencia.
Cortamos con $y = 0$ . Queda $z = x^{2}$ , una parábola.
Respuesta: paraboloide elíptico con vértice en el origen

Error típico

Contar mal los signos negativos. Uno da hiperboloide de una hoja y dos dan de dos hojas: la cantidad decide la forma.

Practicar

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Otros subtemas de Vectores, rectas y planos

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