Método

Ángulo entre vectores y ortogonalidad

El ángulo entre dos vectores se despeja del producto escalar: es el arcocoseno del producto escalar dividido por el producto de los módulos.

El resultado siempre está entre cero y ciento ochenta grados, porque es el ángulo que forman las dos flechas partiendo del mismo punto. No hay ángulos negativos ni mayores que un llano.

Dos vectores son ortogonales cuando ese ángulo es recto, lo que equivale a que el producto escalar sea cero. Ortogonal y perpendicular significan lo mismo.

El vector nulo se considera ortogonal a todos, porque su producto escalar con cualquier vector da cero. Es una convención que evita tener que hacer excepciones en los teoremas.

Para hallar un vector perpendicular a otro en el plano hay un truco: se intercambian las componentes y se le cambia el signo a una. En el espacio no hay una fórmula tan directa, porque hay infinitas direcciones perpendiculares a una dada.

cos⁡θ=(u⋅v)/(∣u∣⋅∣v∣)\cos \theta = (u \cdot v) / (|u| \cdot |v|)
Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide el ángulo entre dos vectores, entre dos rectas o entre una recta y un plano. Despejá del producto escalar. Si pide un perpendicular en el plano, intercambiá componentes y cambiá un signo.

Ejemplo 1

Hallar el ángulo entre u=(4,0)u = (4, 0) y v=(2,2)v = (2, 2).

Calculamos el producto escalar. 4⋅2+0⋅2=84 \cdot 2 + 0 \cdot 2 = 8.
Calculamos los dos módulos. ∣u∣=16=4|u| = \sqrt{16} = 4 y ∣v∣=8=22|v| = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}.
Armamos el coseno. cos⁡θ=8/(4⋅22)=8/(82)=1/2\cos \theta = 8 / (4 \cdot 2\sqrt{2}) = 8 / (8\sqrt{2}) = 1/\sqrt{2}.
Racionalizamos y reconocemos el valor. 1/2=2/21/\sqrt{2} = \sqrt{2}/2, que es el coseno de 45∘45^{\circ}.
Verificamos que sea razonable. El producto escalar dio positivo, así que el ángulo tenía que ser agudo. 45∘45^{\circ} lo es.
Respuesta: θ=45∘\theta = 45^{\circ}

Ejemplo 2

Decidir si u=(3,−2)u = (3, -2) y v=(4,6)v = (4, 6) son ortogonales.

Elegimos el camino corto. Para probar perpendicularidad no hace falta el ángulo: alcanza con el producto escalar.
Multiplicamos las primeras componentes. 3⋅4=123 \cdot 4 = 12.
Multiplicamos las segundas. (−2)⋅6=−12(-2) \cdot 6 = -12.
Sumamos. 12−12=012 - 12 = 0.
Concluimos. El producto escalar da cero, así que son ortogonales. El ángulo es 90∘90^{\circ} y no hizo falta calcular ningún módulo.
Respuesta: sí, son ortogonales

Error típico

Calcular el producto escalar y contestar que ese es el ángulo. El producto escalar no es el coseno: hay que dividirlo por los dos módulos. Un control rápido: el coseno siempre queda entre −1-1 y 11, así que si da 1111 hubo un paso de menos.

Practicar

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