Qué es un vector

Un vector es una flecha: tiene una longitud, una inclinación y un sentido. Para trabajar con él no se guarda el dibujo, se guardan sus componentes, que dicen cuánto avanza en cada dirección.

Si la flecha va de un punto a otro, las componentes salen de restar: extremo menos origen, siempre en ese orden. Invertir la resta da el vector opuesto.

Un punto y un vector se escriben igual, con números entre paréntesis, pero no son lo mismo. El punto es un lugar. El vector es un desplazamiento: avanzar tanto en una dirección y tanto en otra, sin importar desde dónde se arranque.

Eso significa que la misma flecha corrida a otro lugar del plano sigue siendo el mismo vector. Lo que define a un vector son sus componentes, no dónde está dibujado.

Cuando el origen del vector es el origen de coordenadas, sus componentes coinciden con las coordenadas de su extremo. Ese caso se llama vector posición y es el que más se usa, porque permite identificar puntos con vectores.

v = (v_{1}, v_{2})

Cuándo se usa

Cuando el enunciado da dos puntos y pide el vector que los une: es extremo menos origen, en ese orden. Si te pide dibujar un vector desde un punto dado, sumá las componentes a ese punto.

Ejemplo 1

Hallar las componentes del vector que va de $A(2, 1)$ a $B(6, 4)$ .

Identificamos origen y extremo. La flecha arranca en $A$ y termina en $B$ .
Aplicamos extremo menos origen. Restamos coordenada a coordenada: $(6 - 2, 4 - 1)$ .
Resolvemos cada resta. En $x$ da $4$ y en $y$ da $3$ .
Escribimos el vector. Las componentes son $(4, 3)$ : la flecha avanza cuatro a la derecha y tres hacia arriba.
Respuesta: $AB = (4, 3)$

Ejemplo 2

Dibujar el vector $v = (3, -2)$ arrancando en $P(1, 4)$ e indicar dónde termina.

Leemos qué dice cada componente. La primera es $3$ : avanzar tres a la derecha. La segunda es $-2$ : bajar dos.
Partimos del punto dado. Arrancamos en $P(1, 4)$ y aplicamos ese desplazamiento.
Sumamos componente a componente. $(1 + 3, 4 - 2) = (4, 2)$ .
Verificamos con la resta. Extremo menos origen: $(4 - 1, 2 - 4) = (3, -2)$ , que es el vector que queríamos.
Respuesta: termina en $(4, 2)$

Error típico

Restar al revés. Las componentes del vector que va de A a B salen de hacer $B - A$ , no $A - B$ . Si se invierte, se obtiene el vector opuesto: mismo largo, misma inclinación, sentido contrario.

Practicar

Módulo, dirección y sentido →

Otros subtemas de Vectores, rectas y planos

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