Ejercicios: Qué es un vector

1. Hallá el vector que va de $A = (2; 4; 2)$ a $B = (-3; -4; -4)$ .

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1. Recordamos la regla. El vector que va de un punto a otro se calcula como extremo menos origen, siempre en ese orden.

2. Identificamos origen y extremo. El origen es $A = (2; 4; 2)$ y el extremo es $B = (-3; -4; -4)$ .

3. Restamos componente a componente. $\vec{AB} = B - A = (-3; -4; -4) - (2; 4; 2) = (-5; -8; -6)$

4. Controlamos el sentido. Si hubiéramos restado al revés obtendríamos el vector opuesto, con las mismas componentes cambiadas de signo.

Respuesta: $\vec{AB} = (-5; -8; -6)$

2. El vector $v = (3; -5; -2)$ arranca en $P = (-5; 8; -5)$ . Hallá el punto donde termina.

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1. Entendemos qué pide. Un vector es un desplazamiento: dice cuánto avanzar en cada dirección a partir del punto donde se lo apoya.

2. Planteamos la cuenta. El extremo se obtiene sumándole el vector al origen: $Q = P + v$ .

3. Sumamos componente a componente. $Q = (-5; 8; -5) + (3; -5; -2) = (-2; 3; -7)$

4. Verificamos con la resta. Extremo menos origen: $(-2; 3; -7) - (-5; 8; -5) = (3; -5; -2)$ , que es el vector dado.

Respuesta: el vector termina en $Q = (-2; 3; -7)$

3. Se sabe que $\vec{AB} = (-6; 3; 7)$ y que $B = (-1; 7; -3)$ . Hallá el punto $A$ .

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1. Escribimos la relación conocida. Por definición $\vec{AB} = B - A$ .

2. Despejamos el punto que falta. De esa igualdad sale $A = B - \vec{AB}$ .

3. Reemplazamos y restamos. $A = (-1; 7; -3) - (-6; 3; 7) = (5; 4; -10)$

4. Verificamos. Con ese $A$ : $B - A = (-1; 7; -3) - (5; 4; -10) = (-6; 3; 7)$ , que es el vector dado.

Respuesta: $A = (5; 4; -10)$

4. La flecha $\vec{AB}$ va de $A = (-3; -8; -8)$ a $B = (4; -6; -17)$ , y la flecha $\vec{CD}$ va de $C = (4; -3; -3)$ a $D = (11; -1; -12)$ . Decidí si representan el mismo vector.

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1. Recordamos qué define a un vector. A un vector lo definen sus componentes, no dónde está dibujado. Dos flechas apoyadas en lugares distintos son el mismo vector si tienen las mismas componentes.

2. Calculamos las componentes de la primera. $\vec{AB} = B - A = (7; 2; -9)$

3. Calculamos las componentes de la segunda. $\vec{CD} = D - C = (7; 2; -9)$

4. Comparamos. Las componentes coinciden, así que las dos flechas son el mismo vector.

Respuesta: son el mismo vector: $\vec{AB} = (7; 2; -9)$ y $\vec{CD} = (7; 2; -9)$

5. Hallá el vector que va de $A = (-7; 4; -5)$ a $B = (-6; 8; 9)$ .

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1. Recordamos la regla. El vector que va de un punto a otro se calcula como extremo menos origen, siempre en ese orden.

2. Identificamos origen y extremo. El origen es $A = (-7; 4; -5)$ y el extremo es $B = (-6; 8; 9)$ .

3. Restamos componente a componente. $\vec{AB} = B - A = (-6; 8; 9) - (-7; 4; -5) = (1; 4; 14)$

4. Controlamos el sentido. Si hubiéramos restado al revés obtendríamos el vector opuesto, con las mismas componentes cambiadas de signo.

Respuesta: $\vec{AB} = (1; 4; 14)$

6. El vector $v = (1; 5; 5)$ arranca en $P = (5; -2; 9)$ . Hallá el punto donde termina.

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1. Entendemos qué pide. Un vector es un desplazamiento: dice cuánto avanzar en cada dirección a partir del punto donde se lo apoya.

2. Planteamos la cuenta. El extremo se obtiene sumándole el vector al origen: $Q = P + v$ .

3. Sumamos componente a componente. $Q = (5; -2; 9) + (1; 5; 5) = (6; 3; 14)$

4. Verificamos con la resta. Extremo menos origen: $(6; 3; 14) - (5; -2; 9) = (1; 5; 5)$ , que es el vector dado.

Respuesta: el vector termina en $Q = (6; 3; 14)$

7. Se sabe que $\vec{AB} = (-4; -5; -8)$ y que $B = (-9; 6; 2)$ . Hallá el punto $A$ .

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1. Escribimos la relación conocida. Por definición $\vec{AB} = B - A$ .

2. Despejamos el punto que falta. De esa igualdad sale $A = B - \vec{AB}$ .

3. Reemplazamos y restamos. $A = (-9; 6; 2) - (-4; -5; -8) = (-5; 11; 10)$

4. Verificamos. Con ese $A$ : $B - A = (-9; 6; 2) - (-5; 11; 10) = (-4; -5; -8)$ , que es el vector dado.

Respuesta: $A = (-5; 11; 10)$

8. La flecha $\vec{AB}$ va de $A = (8; 8; -1)$ a $B = (3; 11; 4)$ , y la flecha $\vec{CD}$ va de $C = (6; 9; 2)$ a $D = (1; 12; 7)$ . Decidí si representan el mismo vector.

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1. Recordamos qué define a un vector. A un vector lo definen sus componentes, no dónde está dibujado. Dos flechas apoyadas en lugares distintos son el mismo vector si tienen las mismas componentes.

2. Calculamos las componentes de la primera. $\vec{AB} = B - A = (-5; 3; 5)$

3. Calculamos las componentes de la segunda. $\vec{CD} = D - C = (-5; 3; 5)$

4. Comparamos. Las componentes coinciden, así que las dos flechas son el mismo vector.

Respuesta: son el mismo vector: $\vec{AB} = (-5; 3; 5)$ y $\vec{CD} = (-5; 3; 5)$

9. Hallá el vector que va de $A = (1; 7; 3)$ a $B = (9; 7; -3)$ .

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1. Recordamos la regla. El vector que va de un punto a otro se calcula como extremo menos origen, siempre en ese orden.

2. Identificamos origen y extremo. El origen es $A = (1; 7; 3)$ y el extremo es $B = (9; 7; -3)$ .

3. Restamos componente a componente. $\vec{AB} = B - A = (9; 7; -3) - (1; 7; 3) = (8; 0; -6)$

4. Controlamos el sentido. Si hubiéramos restado al revés obtendríamos el vector opuesto, con las mismas componentes cambiadas de signo.

Respuesta: $\vec{AB} = (8; 0; -6)$

10. El vector $v = (4; -3; 2)$ arranca en $P = (3; -9; 2)$ . Hallá el punto donde termina.

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1. Entendemos qué pide. Un vector es un desplazamiento: dice cuánto avanzar en cada dirección a partir del punto donde se lo apoya.

2. Planteamos la cuenta. El extremo se obtiene sumándole el vector al origen: $Q = P + v$ .

3. Sumamos componente a componente. $Q = (3; -9; 2) + (4; -3; 2) = (7; -12; 4)$

4. Verificamos con la resta. Extremo menos origen: $(7; -12; 4) - (3; -9; 2) = (4; -3; 2)$ , que es el vector dado.

Respuesta: el vector termina en $Q = (7; -12; 4)$

11. Se sabe que $\vec{AB} = (-9; -1; 5)$ y que $B = (-9; 6; 3)$ . Hallá el punto $A$ .

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1. Escribimos la relación conocida. Por definición $\vec{AB} = B - A$ .

2. Despejamos el punto que falta. De esa igualdad sale $A = B - \vec{AB}$ .

3. Reemplazamos y restamos. $A = (-9; 6; 3) - (-9; -1; 5) = (0; 7; -2)$

4. Verificamos. Con ese $A$ : $B - A = (-9; 6; 3) - (0; 7; -2) = (-9; -1; 5)$ , que es el vector dado.

Respuesta: $A = (0; 7; -2)$

12. La flecha $\vec{AB}$ va de $A = (6; 6; 9)$ a $B = (15; 8; 2)$ , y la flecha $\vec{CD}$ va de $C = (-9; -8; -8)$ a $D = (0; -6; -15)$ . Decidí si representan el mismo vector.

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1. Recordamos qué define a un vector. A un vector lo definen sus componentes, no dónde está dibujado. Dos flechas apoyadas en lugares distintos son el mismo vector si tienen las mismas componentes.

2. Calculamos las componentes de la primera. $\vec{AB} = B - A = (9; 2; -7)$

3. Calculamos las componentes de la segunda. $\vec{CD} = D - C = (9; 2; -7)$

4. Comparamos. Las componentes coinciden, así que las dos flechas son el mismo vector.

Respuesta: son el mismo vector: $\vec{AB} = (9; 2; -7)$ y $\vec{CD} = (9; 2; -7)$