Ejercicios: Módulo, dirección y sentido

|v| = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}}

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Calculá el módulo de $u = (-5; 2; -7)$ .

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1. Recordamos la fórmula. El módulo es la raíz de la suma de los cuadrados de las componentes. Es Pitágoras en tres dimensiones.

2. Elevamos cada componente al cuadrado. $(-5)^2 = 25$ , $2^2 = 4$ , $(-7)^2 = 49$

3. Sumamos. $25 + 4 + 49 = 78$

4. Tomamos la raíz. $|u| = \sqrt{78} \approx 8{,}8318$

5. Controlamos el signo. El módulo nunca es negativo: es una longitud.

Respuesta: $|u| = \sqrt{78} \approx 8{,}8318$

2. Hallá el versor de $u = (-8; 9; 9)$ y verificá que mide $1$ .

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1. Recordamos qué es un versor. Un versor es un vector de módulo uno que apunta en la misma dirección. Se obtiene dividiendo el vector por su propio módulo.

2. Calculamos el módulo. $|u| = \sqrt{64 + 81 + 81} = \sqrt{226}$

3. Dividimos cada componente por el módulo. $\hat{u} = \dfrac{1}{\sqrt{226}}(-8; 9; 9) = \left(\dfrac{-8}{\sqrt{226}}; \dfrac{9}{\sqrt{226}}; \dfrac{9}{\sqrt{226}}\right)$

4. Verificamos que mide uno. La suma de los cuadrados de las componentes da $\dfrac{226}{226} = 1$ , así que el módulo es $1$ .

Respuesta: $\hat{u} = \left(\dfrac{-8}{\sqrt{226}}; \dfrac{9}{\sqrt{226}}; \dfrac{9}{\sqrt{226}}\right)$

3. Calculá la distancia entre $A = (7; 1; 6)$ y $B = (-9; 2; 6)$ .

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1. Conectamos distancia con módulo. La distancia entre dos puntos es la longitud del vector que los une, o sea el módulo de ese vector.

2. Armamos el vector. $\vec{AB} = B - A = (-16; 1; 0)$

3. Aplicamos la fórmula del módulo. $d = \sqrt{(-16)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{257}$

4. Resolvemos. $d = \sqrt{257} \approx 16{,}0312$

5. Controlamos. El orden de los puntos no cambia el resultado: el vector opuesto tiene el mismo módulo.

Respuesta: la distancia es $\sqrt{257} \approx 16{,}0312$

4. Hallá el vector que tiene la misma dirección y sentido que $u = (3; 3; 2)$ pero módulo $6$ .

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1. Separamos dirección de longitud. El versor guarda la dirección y el sentido sin arrastrar longitud. Multiplicándolo por el número que queramos obtenemos ese módulo.

2. Calculamos el módulo de $u$ . $|u| = \sqrt{22}$

3. Normalizamos. $\hat{u} = \dfrac{1}{\sqrt{22}}(3; 3; 2)$

4. Multiplicamos por el módulo pedido. $w = 6\,\hat{u} = \dfrac{6}{\sqrt{22}}(3; 3; 2)$

5. Verificamos. El módulo de $w$ es $6$ , porque el versor mide $1$ y lo multiplicamos por $6$ .

Respuesta: $w = \dfrac{6}{\sqrt{22}}(3; 3; 2)$

5. Calculá el módulo de $u = (-6; 9; 8)$ .

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1. Recordamos la fórmula. El módulo es la raíz de la suma de los cuadrados de las componentes. Es Pitágoras en tres dimensiones.

2. Elevamos cada componente al cuadrado. $(-6)^2 = 36$ , $9^2 = 81$ , $8^2 = 64$

3. Sumamos. $36 + 81 + 64 = 181$

4. Tomamos la raíz. $|u| = \sqrt{181} \approx 13{,}4536$

5. Controlamos el signo. El módulo nunca es negativo: es una longitud.

Respuesta: $|u| = \sqrt{181} \approx 13{,}4536$

6. Hallá el versor de $u = (7; 6; 9)$ y verificá que mide $1$ .

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1. Recordamos qué es un versor. Un versor es un vector de módulo uno que apunta en la misma dirección. Se obtiene dividiendo el vector por su propio módulo.

2. Calculamos el módulo. $|u| = \sqrt{49 + 36 + 81} = \sqrt{166}$

3. Dividimos cada componente por el módulo. $\hat{u} = \dfrac{1}{\sqrt{166}}(7; 6; 9) = \left(\dfrac{7}{\sqrt{166}}; \dfrac{6}{\sqrt{166}}; \dfrac{9}{\sqrt{166}}\right)$

4. Verificamos que mide uno. La suma de los cuadrados de las componentes da $\dfrac{166}{166} = 1$ , así que el módulo es $1$ .

Respuesta: $\hat{u} = \left(\dfrac{7}{\sqrt{166}}; \dfrac{6}{\sqrt{166}}; \dfrac{9}{\sqrt{166}}\right)$

7. Calculá la distancia entre $A = (-8; 8; -6)$ y $B = (-2; 8; 4)$ .

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1. Conectamos distancia con módulo. La distancia entre dos puntos es la longitud del vector que los une, o sea el módulo de ese vector.

2. Armamos el vector. $\vec{AB} = B - A = (6; 0; 10)$

3. Aplicamos la fórmula del módulo. $d = \sqrt{6^2 + 0^2 + 10^2} = \sqrt{136}$

4. Resolvemos. $d = \sqrt{136} \approx 11{,}6619$

5. Controlamos. El orden de los puntos no cambia el resultado: el vector opuesto tiene el mismo módulo.

Respuesta: la distancia es $\sqrt{136} \approx 11{,}6619$

8. Hallá el vector que tiene la misma dirección y sentido que $u = (-8; -6; -8)$ pero módulo $8$ .

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1. Separamos dirección de longitud. El versor guarda la dirección y el sentido sin arrastrar longitud. Multiplicándolo por el número que queramos obtenemos ese módulo.

2. Calculamos el módulo de $u$ . $|u| = \sqrt{164}$

3. Normalizamos. $\hat{u} = \dfrac{1}{\sqrt{164}}(-8; -6; -8)$

4. Multiplicamos por el módulo pedido. $w = 8\,\hat{u} = \dfrac{8}{\sqrt{164}}(-8; -6; -8)$

5. Verificamos. El módulo de $w$ es $8$ , porque el versor mide $1$ y lo multiplicamos por $8$ .

Respuesta: $w = \dfrac{8}{\sqrt{164}}(-8; -6; -8)$

9. Calculá el módulo de $u = (4; 5; -9)$ .

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1. Recordamos la fórmula. El módulo es la raíz de la suma de los cuadrados de las componentes. Es Pitágoras en tres dimensiones.

2. Elevamos cada componente al cuadrado. $4^2 = 16$ , $5^2 = 25$ , $(-9)^2 = 81$

3. Sumamos. $16 + 25 + 81 = 122$

4. Tomamos la raíz. $|u| = \sqrt{122} \approx 11{,}0454$

5. Controlamos el signo. El módulo nunca es negativo: es una longitud.

Respuesta: $|u| = \sqrt{122} \approx 11{,}0454$

10. Hallá el versor de $u = (-2; -2; -3)$ y verificá que mide $1$ .

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1. Recordamos qué es un versor. Un versor es un vector de módulo uno que apunta en la misma dirección. Se obtiene dividiendo el vector por su propio módulo.

2. Calculamos el módulo. $|u| = \sqrt{4 + 4 + 9} = \sqrt{17}$

3. Dividimos cada componente por el módulo. $\hat{u} = \dfrac{1}{\sqrt{17}}(-2; -2; -3) = \left(\dfrac{-2}{\sqrt{17}}; \dfrac{-2}{\sqrt{17}}; \dfrac{-3}{\sqrt{17}}\right)$

4. Verificamos que mide uno. La suma de los cuadrados de las componentes da $\dfrac{17}{17} = 1$ , así que el módulo es $1$ .

Respuesta: $\hat{u} = \left(\dfrac{-2}{\sqrt{17}}; \dfrac{-2}{\sqrt{17}}; \dfrac{-3}{\sqrt{17}}\right)$

11. Calculá la distancia entre $A = (-6; 4; -1)$ y $B = (2; -2; -8)$ .

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1. Conectamos distancia con módulo. La distancia entre dos puntos es la longitud del vector que los une, o sea el módulo de ese vector.

2. Armamos el vector. $\vec{AB} = B - A = (8; -6; -7)$

3. Aplicamos la fórmula del módulo. $d = \sqrt{8^2 + (-6)^2 + (-7)^2} = \sqrt{149}$

4. Resolvemos. $d = \sqrt{149} \approx 12{,}2066$

5. Controlamos. El orden de los puntos no cambia el resultado: el vector opuesto tiene el mismo módulo.

Respuesta: la distancia es $\sqrt{149} \approx 12{,}2066$

12. Hallá el vector que tiene la misma dirección y sentido que $u = (5; 8; -4)$ pero módulo $9$ .

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1. Separamos dirección de longitud. El versor guarda la dirección y el sentido sin arrastrar longitud. Multiplicándolo por el número que queramos obtenemos ese módulo.

2. Calculamos el módulo de $u$ . $|u| = \sqrt{105}$

3. Normalizamos. $\hat{u} = \dfrac{1}{\sqrt{105}}(5; 8; -4)$

4. Multiplicamos por el módulo pedido. $w = 9\,\hat{u} = \dfrac{9}{\sqrt{105}}(5; 8; -4)$

5. Verificamos. El módulo de $w$ es $9$ , porque el versor mide $1$ y lo multiplicamos por $9$ .

Respuesta: $w = \dfrac{9}{\sqrt{105}}(5; 8; -4)$

Integradores de Vectores, rectas y planos: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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