Ejercicios: Suma, resta y producto por un escalar

u + v = (u_{1} + v_{1}, u_{2} + v_{2})

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Con $u = (3; -4; 2)$ y $v = (-9; -6; -4)$ , calculá $7u - 3v$ .

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1. Multiplicamos cada vector por su escalar. $7u = (21; -28; 14)$ y $-3v = (27; 18; 12)$

2. Sumamos componente a componente. Primera: $21 + 27 = 48$ . Segunda: $-28 + 18 = -10$ . Tercera: $14 + 12 = 26$ .

3. Escribimos el resultado. $7u - 3v = (48; -10; 26)$

4. Controlamos. Se opera componente a componente, sin mezclar la primera con la segunda.

Respuesta: $7u - 3v = (48; -10; 26)$

2. Hallá el vector $x$ que cumple $3x + u = v$ , con $u = (-2; 2; -6)$ y $v = (4; -7; -9)$ .

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1. Despejamos como en una ecuación común. Las operaciones con vectores cumplen las mismas propiedades, así que podemos despejar: $3x = v - u$ , y de ahí $x = \dfrac{v - u}{3}$ .

2. Calculamos la resta. $v - u = (4; -7; -9) - (-2; 2; -6) = (6; -9; -3)$

3. Dividimos por el escalar. $x = \dfrac{1}{3}(6; -9; -3) = (2; -3; -1)$

4. Verificamos. $3x + u = (6; -9; -3) + (-2; 2; -6) = (4; -7; -9)$ , que es $v$ .

Respuesta: $x = (2; -3; -1)$

3. Con $u = (8; 8; -5)$ y $v = (6; 7; -6)$ , compará $|u + v|$ con $|u| + |v|$ .

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1. Calculamos la suma de los vectores. $u + v = (14; 15; -11)$

2. Calculamos su módulo. $|u + v| = \sqrt{542} \approx 23{,}2809$

3. Calculamos los módulos por separado y los sumamos. $|u| \approx 12{,}3693$ y $|v| \approx 11$ , así que $|u| + |v| \approx 23{,}3693$ .

4. Comparamos. $23{,}2809 < 23{,}3693$ . El módulo de la suma es menor que la suma de los módulos, que es lo que pasa siempre salvo que los dos vectores sean paralelos y del mismo sentido.

Respuesta: $|u + v| \approx 23{,}2809$ es menor que $|u| + |v| \approx 23{,}3693$

4. Escribí $w = (-6; 20)$ como combinación lineal de $u = (5; 4)$ y $v = (-4; 3)$ .

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1. Planteamos qué buscamos. Buscamos dos números $\alpha$ y $\beta$ tales que $\alpha u + \beta v = w$ .

2. Escribimos la igualdad componente a componente. $\alpha \cdot 5 + \beta \cdot (-4) = -6$ y $\alpha \cdot 4 + \beta \cdot 3 = 20$

3. Resolvemos el sistema. El determinante del sistema vale $31$ , distinto de cero, así que hay solución única: $\alpha = 2$ y $\beta = 4$ .

4. Verificamos. $2(5; 4) + 4(-4; 3) = (-6; 20)$ , que es $w$ .

Respuesta: $w = 2u + 4v$

5. Con $u = (3; -3; 6)$ y $v = (-4; -9; -8)$ , calculá $6u - 2v$ .

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1. Multiplicamos cada vector por su escalar. $6u = (18; -18; 36)$ y $-2v = (8; 18; 16)$

2. Sumamos componente a componente. Primera: $18 + 8 = 26$ . Segunda: $-18 + 18 = 0$ . Tercera: $36 + 16 = 52$ .

3. Escribimos el resultado. $6u - 2v = (26; 0; 52)$

4. Controlamos. Se opera componente a componente, sin mezclar la primera con la segunda.

Respuesta: $6u - 2v = (26; 0; 52)$

6. Hallá el vector $x$ que cumple $2x + u = v$ , con $u = (4; 2; -2)$ y $v = (8; -2; 4)$ .

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1. Despejamos como en una ecuación común. Las operaciones con vectores cumplen las mismas propiedades, así que podemos despejar: $2x = v - u$ , y de ahí $x = \dfrac{v - u}{2}$ .

2. Calculamos la resta. $v - u = (8; -2; 4) - (4; 2; -2) = (4; -4; 6)$

3. Dividimos por el escalar. $x = \dfrac{1}{2}(4; -4; 6) = (2; -2; 3)$

4. Verificamos. $2x + u = (4; -4; 6) + (4; 2; -2) = (8; -2; 4)$ , que es $v$ .

Respuesta: $x = (2; -2; 3)$

7. Con $u = (2; 5; 9)$ y $v = (-6; 5; 9)$ , compará $|u + v|$ con $|u| + |v|$ .

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1. Calculamos la suma de los vectores. $u + v = (-4; 10; 18)$

2. Calculamos su módulo. $|u + v| = \sqrt{440} \approx 20{,}9762$

3. Calculamos los módulos por separado y los sumamos. $|u| \approx 10{,}4881$ y $|v| \approx 11{,}9164$ , así que $|u| + |v| \approx 22{,}4045$ .

4. Comparamos. $20{,}9762 < 22{,}4045$ . El módulo de la suma es menor que la suma de los módulos, que es lo que pasa siempre salvo que los dos vectores sean paralelos y del mismo sentido.

Respuesta: $|u + v| \approx 20{,}9762$ es menor que $|u| + |v| \approx 22{,}4045$

8. Escribí $w = (7; 1)$ como combinación lineal de $u = (4; 2)$ y $v = (-3; 1)$ .

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1. Planteamos qué buscamos. Buscamos dos números $\alpha$ y $\beta$ tales que $\alpha u + \beta v = w$ .

2. Escribimos la igualdad componente a componente. $\alpha \cdot 4 + \beta \cdot (-3) = 7$ y $\alpha \cdot 2 + \beta \cdot 1 = 1$

3. Resolvemos el sistema. El determinante del sistema vale $10$ , distinto de cero, así que hay solución única: $\alpha = 1$ y $\beta = -1$ .

4. Verificamos. $(4; 2) - (-3; 1) = (7; 1)$ , que es $w$ .

Respuesta: $w = u - v$

9. Con $u = (-8; 3; 4)$ y $v = (-7; -5; -6)$ , calculá $2u - 7v$ .

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1. Multiplicamos cada vector por su escalar. $2u = (-16; 6; 8)$ y $-7v = (49; 35; 42)$

2. Sumamos componente a componente. Primera: $-16 + 49 = 33$ . Segunda: $6 + 35 = 41$ . Tercera: $8 + 42 = 50$ .

3. Escribimos el resultado. $2u - 7v = (33; 41; 50)$

4. Controlamos. Se opera componente a componente, sin mezclar la primera con la segunda.

Respuesta: $2u - 7v = (33; 41; 50)$

10. Hallá el vector $x$ que cumple $3x + u = v$ , con $u = (-6; 5; -6)$ y $v = (-15; -4; 6)$ .

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1. Despejamos como en una ecuación común. Las operaciones con vectores cumplen las mismas propiedades, así que podemos despejar: $3x = v - u$ , y de ahí $x = \dfrac{v - u}{3}$ .

2. Calculamos la resta. $v - u = (-15; -4; 6) - (-6; 5; -6) = (-9; -9; 12)$

3. Dividimos por el escalar. $x = \dfrac{1}{3}(-9; -9; 12) = (-3; -3; 4)$

4. Verificamos. $3x + u = (-9; -9; 12) + (-6; 5; -6) = (-15; -4; 6)$ , que es $v$ .

Respuesta: $x = (-3; -3; 4)$

11. Con $u = (5; 3; -6)$ y $v = (3; -5; -4)$ , compará $|u + v|$ con $|u| + |v|$ .

Ver solución

1. Calculamos la suma de los vectores. $u + v = (8; -2; -10)$

2. Calculamos su módulo. $|u + v| = \sqrt{168} \approx 12{,}9615$

3. Calculamos los módulos por separado y los sumamos. $|u| \approx 8{,}3666$ y $|v| \approx 7{,}0711$ , así que $|u| + |v| \approx 15{,}4377$ .

4. Comparamos. $12{,}9615 < 15{,}4377$ . El módulo de la suma es menor que la suma de los módulos, que es lo que pasa siempre salvo que los dos vectores sean paralelos y del mismo sentido.

Respuesta: $|u + v| \approx 12{,}9615$ es menor que $|u| + |v| \approx 15{,}4377$

12. Escribí $w = (-2; -26)$ como combinación lineal de $u = (2; 2)$ y $v = (-1; 5)$ .

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1. Planteamos qué buscamos. Buscamos dos números $\alpha$ y $\beta$ tales que $\alpha u + \beta v = w$ .

2. Escribimos la igualdad componente a componente. $\alpha \cdot 2 + \beta \cdot (-1) = -2$ y $\alpha \cdot 2 + \beta \cdot 5 = -26$

3. Resolvemos el sistema. El determinante del sistema vale $12$ , distinto de cero, así que hay solución única: $\alpha = -3$ y $\beta = -4$ .

4. Verificamos. $-3(2; 2) - 4(-1; 5) = (-2; -26)$ , que es $w$ .

Respuesta: $w = -3u - 4v$

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