Método

Ejercicios: Vectores en el espacio

∣v∣=v12+v22+v32|v| = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2}}

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Hallá los cosenos directores de v=(−1;1;−6)v = (-1; 1; -6).

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1. Recordamos qué son. Los cosenos directores son los cosenos de los ángulos que el vector forma con cada eje. Coinciden con las componentes del versor.

2. Calculamos el módulo. ∣v∣=(−1)2+12+(−6)2=38|v| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-6)^2} = \sqrt{38}

3. Dividimos cada componente por el módulo. cos⁡α=−138\cos\alpha = \dfrac{-1}{\sqrt{38}}, cos⁡β=138\cos\beta = \dfrac{1}{\sqrt{38}}, cos⁡γ=−638\cos\gamma = \dfrac{-6}{\sqrt{38}}

4. Verificamos. La suma de sus cuadrados da 1+1+3638=1\dfrac{1 + 1 + 36}{38} = 1, que es la relación que siempre tienen que cumplir.

Respuesta: cos⁡α=−138\cos\alpha = \dfrac{-1}{\sqrt{38}}, cos⁡β=138\cos\beta = \dfrac{1}{\sqrt{38}}, cos⁡γ=−638\cos\gamma = \dfrac{-6}{\sqrt{38}}

2. Calculá los tres ángulos directores de v=(−1;1;−7)v = (-1; 1; -7), en grados.

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1. Planteamos. Cada ángulo director sale del arcocoseno de su coseno director.

2. Calculamos el módulo. ∣v∣=51≈7,1414|v| = \sqrt{51} \approx 7{,}1414

3. Hallamos cada ángulo. α=arccos⁡(−151)≈98,05∘\alpha = \arccos\left(\dfrac{-1}{\sqrt{51}}\right) \approx 98{,}05^\circ, β≈81,95∘\beta \approx 81{,}95^\circ, γ≈168,58∘\gamma \approx 168{,}58^\circ

4. Controlamos. Los tres ángulos no suman nada fijo. Lo que vale uno es la suma de los cuadrados de sus cosenos.

Respuesta: α≈98,05∘\alpha \approx 98{,}05^\circ, β≈81,95∘\beta \approx 81{,}95^\circ, γ≈168,58∘\gamma \approx 168{,}58^\circ

3. Hallá el punto medio del segmento que une A=(3;−1;9)A = (3; -1; 9) con B=(1;5;−4)B = (1; 5; -4).

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1. Planteamos la idea. El punto medio se alcanza partiendo de AA y avanzando la mitad del vector que va hasta BB.

2. Escribimos la fórmula. M=A+12AB⃗M = A + \dfrac{1}{2}\vec{AB}, que equivale a promediar coordenada a coordenada.

3. Promediamos cada coordenada. M=(3+12;−1+52;9−42)=(2;2;52)M = \left(\dfrac{3 + 1}{2}; \dfrac{-1 + 5}{2}; \dfrac{9 - 4}{2}\right) = (2; 2; \dfrac{5}{2})

4. Verificamos. La distancia de AA a MM y la de MM a BB son iguales, porque en los dos casos el vector es la mitad de AB⃗\vec{AB}.

Respuesta: M=(2;2;52)M = (2; 2; \dfrac{5}{2})

4. El vector v=(9;−3;0)v = (9; -3; 0) tiene tercera componente nula. Calculá su módulo y decidí si está contenido en algún plano coordenado.

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1. Calculamos el módulo. ∣v∣=92+(−3)2+02=90≈9,4868|v| = \sqrt{9^2 + (-3)^2 + 0^2} = \sqrt{90} \approx 9{,}4868

2. Leemos qué significa la componente nula. Que la tercera componente sea cero quiere decir que el vector no avanza nada en la dirección del eje zz.

3. Concluimos dónde está. Si no avanza en zz, el vector queda apoyado enteramente sobre el plano xyxy.

4. Controlamos. El módulo se calcula igual que en el espacio: el término que se anula simplemente no aporta a la suma.

Respuesta: ∣v∣=90≈9,4868|v| = \sqrt{90} \approx 9{,}4868, y el vector está contenido en el plano xyxy

5. Hallá los cosenos directores de v=(−9;1;−6)v = (-9; 1; -6).

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1. Recordamos qué son. Los cosenos directores son los cosenos de los ángulos que el vector forma con cada eje. Coinciden con las componentes del versor.

2. Calculamos el módulo. ∣v∣=(−9)2+12+(−6)2=118|v| = \sqrt{(-9)^2 + 1^2 + (-6)^2} = \sqrt{118}

3. Dividimos cada componente por el módulo. cos⁡α=−9118\cos\alpha = \dfrac{-9}{\sqrt{118}}, cos⁡β=1118\cos\beta = \dfrac{1}{\sqrt{118}}, cos⁡γ=−6118\cos\gamma = \dfrac{-6}{\sqrt{118}}

4. Verificamos. La suma de sus cuadrados da 81+1+36118=1\dfrac{81 + 1 + 36}{118} = 1, que es la relación que siempre tienen que cumplir.

Respuesta: cos⁡α=−9118\cos\alpha = \dfrac{-9}{\sqrt{118}}, cos⁡β=1118\cos\beta = \dfrac{1}{\sqrt{118}}, cos⁡γ=−6118\cos\gamma = \dfrac{-6}{\sqrt{118}}

6. Calculá los tres ángulos directores de v=(8;−7;2)v = (8; -7; 2), en grados.

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1. Planteamos. Cada ángulo director sale del arcocoseno de su coseno director.

2. Calculamos el módulo. ∣v∣=117≈10,8167|v| = \sqrt{117} \approx 10{,}8167

3. Hallamos cada ángulo. α=arccos⁡(8117)≈42,3∘\alpha = \arccos\left(\dfrac{8}{\sqrt{117}}\right) \approx 42{,}3^\circ, β≈130,33∘\beta \approx 130{,}33^\circ, γ≈79,34∘\gamma \approx 79{,}34^\circ

4. Controlamos. Los tres ángulos no suman nada fijo. Lo que vale uno es la suma de los cuadrados de sus cosenos.

Respuesta: α≈42,3∘\alpha \approx 42{,}3^\circ, β≈130,33∘\beta \approx 130{,}33^\circ, γ≈79,34∘\gamma \approx 79{,}34^\circ

7. Hallá el punto medio del segmento que une A=(−8;−1;5)A = (-8; -1; 5) con B=(3;6;−7)B = (3; 6; -7).

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1. Planteamos la idea. El punto medio se alcanza partiendo de AA y avanzando la mitad del vector que va hasta BB.

2. Escribimos la fórmula. M=A+12AB⃗M = A + \dfrac{1}{2}\vec{AB}, que equivale a promediar coordenada a coordenada.

3. Promediamos cada coordenada. M=(−8+32;−1+62;5−72)=(−52;52;−1)M = \left(\dfrac{-8 + 3}{2}; \dfrac{-1 + 6}{2}; \dfrac{5 - 7}{2}\right) = (- \dfrac{5}{2}; \dfrac{5}{2}; -1)

4. Verificamos. La distancia de AA a MM y la de MM a BB son iguales, porque en los dos casos el vector es la mitad de AB⃗\vec{AB}.

Respuesta: M=(−52;52;−1)M = (- \dfrac{5}{2}; \dfrac{5}{2}; -1)

8. El vector v=(3;−1;0)v = (3; -1; 0) tiene tercera componente nula. Calculá su módulo y decidí si está contenido en algún plano coordenado.

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1. Calculamos el módulo. ∣v∣=32+(−1)2+02=10≈3,1623|v| = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{10} \approx 3{,}1623

2. Leemos qué significa la componente nula. Que la tercera componente sea cero quiere decir que el vector no avanza nada en la dirección del eje zz.

3. Concluimos dónde está. Si no avanza en zz, el vector queda apoyado enteramente sobre el plano xyxy.

4. Controlamos. El módulo se calcula igual que en el espacio: el término que se anula simplemente no aporta a la suma.

Respuesta: ∣v∣=10≈3,1623|v| = \sqrt{10} \approx 3{,}1623, y el vector está contenido en el plano xyxy

9. Hallá los cosenos directores de v=(9;−5;−8)v = (9; -5; -8).

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1. Recordamos qué son. Los cosenos directores son los cosenos de los ángulos que el vector forma con cada eje. Coinciden con las componentes del versor.

2. Calculamos el módulo. ∣v∣=92+(−5)2+(−8)2=170|v| = \sqrt{9^2 + (-5)^2 + (-8)^2} = \sqrt{170}

3. Dividimos cada componente por el módulo. cos⁡α=9170\cos\alpha = \dfrac{9}{\sqrt{170}}, cos⁡β=−5170\cos\beta = \dfrac{-5}{\sqrt{170}}, cos⁡γ=−8170\cos\gamma = \dfrac{-8}{\sqrt{170}}

4. Verificamos. La suma de sus cuadrados da 81+25+64170=1\dfrac{81 + 25 + 64}{170} = 1, que es la relación que siempre tienen que cumplir.

Respuesta: cos⁡α=9170\cos\alpha = \dfrac{9}{\sqrt{170}}, cos⁡β=−5170\cos\beta = \dfrac{-5}{\sqrt{170}}, cos⁡γ=−8170\cos\gamma = \dfrac{-8}{\sqrt{170}}

10. Calculá los tres ángulos directores de v=(−2;9;9)v = (-2; 9; 9), en grados.

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1. Planteamos. Cada ángulo director sale del arcocoseno de su coseno director.

2. Calculamos el módulo. ∣v∣=166≈12,8841|v| = \sqrt{166} \approx 12{,}8841

3. Hallamos cada ángulo. α=arccos⁡(−2166)≈98,93∘\alpha = \arccos\left(\dfrac{-2}{\sqrt{166}}\right) \approx 98{,}93^\circ, β≈45,69∘\beta \approx 45{,}69^\circ, γ≈45,69∘\gamma \approx 45{,}69^\circ

4. Controlamos. Los tres ángulos no suman nada fijo. Lo que vale uno es la suma de los cuadrados de sus cosenos.

Respuesta: α≈98,93∘\alpha \approx 98{,}93^\circ, β≈45,69∘\beta \approx 45{,}69^\circ, γ≈45,69∘\gamma \approx 45{,}69^\circ

11. Hallá el punto medio del segmento que une A=(1;−9;−6)A = (1; -9; -6) con B=(−2;−5;−9)B = (-2; -5; -9).

Ver solución

1. Planteamos la idea. El punto medio se alcanza partiendo de AA y avanzando la mitad del vector que va hasta BB.

2. Escribimos la fórmula. M=A+12AB⃗M = A + \dfrac{1}{2}\vec{AB}, que equivale a promediar coordenada a coordenada.

3. Promediamos cada coordenada. M=(1−22;−9−52;−6−92)=(−12;−7;−152)M = \left(\dfrac{1 - 2}{2}; \dfrac{-9 - 5}{2}; \dfrac{-6 - 9}{2}\right) = (- \dfrac{1}{2}; -7; - \dfrac{15}{2})

4. Verificamos. La distancia de AA a MM y la de MM a BB son iguales, porque en los dos casos el vector es la mitad de AB⃗\vec{AB}.

Respuesta: M=(−12;−7;−152)M = (- \dfrac{1}{2}; -7; - \dfrac{15}{2})

12. El vector v=(−2;8;0)v = (-2; 8; 0) tiene tercera componente nula. Calculá su módulo y decidí si está contenido en algún plano coordenado.

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1. Calculamos el módulo. ∣v∣=(−2)2+82+02=68≈8,2462|v| = \sqrt{(-2)^2 + 8^2 + 0^2} = \sqrt{68} \approx 8{,}2462

2. Leemos qué significa la componente nula. Que la tercera componente sea cero quiere decir que el vector no avanza nada en la dirección del eje zz.

3. Concluimos dónde está. Si no avanza en zz, el vector queda apoyado enteramente sobre el plano xyxy.

4. Controlamos. El módulo se calcula igual que en el espacio: el término que se anula simplemente no aporta a la suma.

Respuesta: ∣v∣=68≈8,2462|v| = \sqrt{68} \approx 8{,}2462, y el vector está contenido en el plano xyxy

Integradores de Vectores, rectas y planos: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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