Método

Ejercicios: Vectores paralelos y puntos alineados

u∥vu \parallel v si existe k tal que u=kvu = k v

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Decidí si u=(−7;−3;−4)u = (-7; -3; -4) y v=(−21;−9;−12)v = (-21; -9; -12) son paralelos.

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1. Recordamos la condición. Dos vectores son paralelos cuando uno es múltiplo del otro.

2. Comparamos componente a componente. Dividimos cada componente de vv por la correspondiente de uu y vemos si sale siempre el mismo número.

3. Hacemos los cocientes. Todos los cocientes dan el mismo número: −21−7=−9−3=−12−4=3\dfrac{-21}{-7} = \dfrac{-9}{-3} = \dfrac{-12}{-4} = 3.

4. Concluimos. Los vectores son paralelos, con v=3uv = 3u.

Respuesta: son paralelos, con v=3uv = 3u

2. Hallá el valor de mm para que u=(−5;1;−5)u = (-5; 1; -5) y v=(−15;3;m)v = (-15; 3; m) sean paralelos.

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1. Planteamos la condición. Para que sean paralelos tiene que existir un número kk tal que v=k uv = k\,u.

2. Buscamos kk con las componentes conocidas. −15−5=3\dfrac{-15}{-5} = 3 y 31=3\dfrac{3}{1} = 3. Las dos dan lo mismo, así que k=3k = 3.

3. Aplicamos ese kk a la tercera. m=3⋅(−5)=−15m = 3 \cdot (-5) = -15

4. Verificamos. Con m=−15m = -15 queda v=(−15;3;−15)=3 uv = (-15; 3; -15) = 3\,u.

Respuesta: m=−15m = -15

3. Decidí si los puntos A=(7;−1;−8)A = (7; -1; -8), B=(15;7;−4)B = (15; 7; -4) y C=(33;25;6)C = (33; 25; 6) están alineados.

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1. Traducimos el problema. Tres puntos están alineados cuando los vectores que forman entre sí son paralelos.

2. Armamos dos vectores desde el mismo punto. AB⃗=(8;8;4)\vec{AB} = (8; 8; 4) y AC⃗=(26;26;14)\vec{AC} = (26; 26; 14)

3. Verificamos el paralelismo. Los cocientes componente a componente no coinciden, así que no son paralelos.

4. Concluimos. Los tres puntos no están alineados.

Respuesta: no están alineados

4. Decidí si u=(5;0;3)u = (5; 0; 3) y v=(10;0;6)v = (10; 0; 6) son paralelos, prestando atención a la componente nula.

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1. Detectamos el caso especial. La segunda componente de los dos vectores es cero, así que ese cociente no se puede calcular. Dividir por cero no está definido.

2. Aplicamos la condición correcta. Cuando una componente es cero, la condición es que la correspondiente del otro vector también lo sea. Acá se cumple.

3. Comparamos las componentes que sí se pueden dividir. 105=2\dfrac{10}{5} = 2 y 63=2\dfrac{6}{3} = 2. Coinciden.

4. Concluimos. Existe k=2k = 2 con v=k uv = k\,u, así que los vectores son paralelos.

Respuesta: son paralelos, con v=2uv = 2u

5. Decidí si u=(−9;−1;−4)u = (-9; -1; -4) y v=(27;3;12)v = (27; 3; 12) son paralelos.

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1. Recordamos la condición. Dos vectores son paralelos cuando uno es múltiplo del otro.

2. Comparamos componente a componente. Dividimos cada componente de vv por la correspondiente de uu y vemos si sale siempre el mismo número.

3. Hacemos los cocientes. Todos los cocientes dan el mismo número: 27−9=3−1=12−4=−3\dfrac{27}{-9} = \dfrac{3}{-1} = \dfrac{12}{-4} = -3.

4. Concluimos. Los vectores son paralelos, con v=−3uv = -3u.

Respuesta: son paralelos, con v=−3uv = -3u

6. Hallá el valor de mm para que u=(7;−2;−7)u = (7; -2; -7) y v=(14;−4;m)v = (14; -4; m) sean paralelos.

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1. Planteamos la condición. Para que sean paralelos tiene que existir un número kk tal que v=k uv = k\,u.

2. Buscamos kk con las componentes conocidas. 147=2\dfrac{14}{7} = 2 y −4−2=2\dfrac{-4}{-2} = 2. Las dos dan lo mismo, así que k=2k = 2.

3. Aplicamos ese kk a la tercera. m=2⋅(−7)=−14m = 2 \cdot (-7) = -14

4. Verificamos. Con m=−14m = -14 queda v=(14;−4;−14)=2 uv = (14; -4; -14) = 2\,u.

Respuesta: m=−14m = -14

7. Decidí si los puntos A=(−4;−5;9)A = (-4; -5; 9), B=(−7;−11;14)B = (-7; -11; 14) y C=(−12;−22;25)C = (-12; -22; 25) están alineados.

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1. Traducimos el problema. Tres puntos están alineados cuando los vectores que forman entre sí son paralelos.

2. Armamos dos vectores desde el mismo punto. AB⃗=(−3;−6;5)\vec{AB} = (-3; -6; 5) y AC⃗=(−8;−17;16)\vec{AC} = (-8; -17; 16)

3. Verificamos el paralelismo. Los cocientes componente a componente no coinciden, así que no son paralelos.

4. Concluimos. Los tres puntos no están alineados.

Respuesta: no están alineados

8. Decidí si u=(2;0;5)u = (2; 0; 5) y v=(−6;0;−15)v = (-6; 0; -15) son paralelos, prestando atención a la componente nula.

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1. Detectamos el caso especial. La segunda componente de los dos vectores es cero, así que ese cociente no se puede calcular. Dividir por cero no está definido.

2. Aplicamos la condición correcta. Cuando una componente es cero, la condición es que la correspondiente del otro vector también lo sea. Acá se cumple.

3. Comparamos las componentes que sí se pueden dividir. −62=−3\dfrac{-6}{2} = -3 y −155=−3\dfrac{-15}{5} = -3. Coinciden.

4. Concluimos. Existe k=−3k = -3 con v=k uv = k\,u, así que los vectores son paralelos.

Respuesta: son paralelos, con v=−3uv = -3u

9. Decidí si u=(−5;−6;3)u = (-5; -6; 3) y v=(10;12;−6)v = (10; 12; -6) son paralelos.

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1. Recordamos la condición. Dos vectores son paralelos cuando uno es múltiplo del otro.

2. Comparamos componente a componente. Dividimos cada componente de vv por la correspondiente de uu y vemos si sale siempre el mismo número.

3. Hacemos los cocientes. Todos los cocientes dan el mismo número: 10−5=12−6=−63=−2\dfrac{10}{-5} = \dfrac{12}{-6} = \dfrac{-6}{3} = -2.

4. Concluimos. Los vectores son paralelos, con v=−2uv = -2u.

Respuesta: son paralelos, con v=−2uv = -2u

10. Hallá el valor de mm para que u=(−4;−2;3)u = (-4; -2; 3) y v=(−16;−8;m)v = (-16; -8; m) sean paralelos.

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1. Planteamos la condición. Para que sean paralelos tiene que existir un número kk tal que v=k uv = k\,u.

2. Buscamos kk con las componentes conocidas. −16−4=4\dfrac{-16}{-4} = 4 y −8−2=4\dfrac{-8}{-2} = 4. Las dos dan lo mismo, así que k=4k = 4.

3. Aplicamos ese kk a la tercera. m=4⋅3=12m = 4 \cdot 3 = 12

4. Verificamos. Con m=12m = 12 queda v=(−16;−8;12)=4 uv = (-16; -8; 12) = 4\,u.

Respuesta: m=12m = 12

11. Decidí si los puntos A=(1;8;4)A = (1; 8; 4), B=(3;−1;3)B = (3; -1; 3) y C=(7;−19;1)C = (7; -19; 1) están alineados.

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1. Traducimos el problema. Tres puntos están alineados cuando los vectores que forman entre sí son paralelos.

2. Armamos dos vectores desde el mismo punto. AB⃗=(2;−9;−1)\vec{AB} = (2; -9; -1) y AC⃗=(6;−27;−3)\vec{AC} = (6; -27; -3)

3. Verificamos el paralelismo. AC⃗=3 AB⃗\vec{AC} = 3\,\vec{AB}, así que son paralelos.

4. Concluimos. Los tres puntos están alineados.

Respuesta: están alineados

12. Decidí si u=(6;0;4)u = (6; 0; 4) y v=(18;0;12)v = (18; 0; 12) son paralelos, prestando atención a la componente nula.

Ver solución

1. Detectamos el caso especial. La segunda componente de los dos vectores es cero, así que ese cociente no se puede calcular. Dividir por cero no está definido.

2. Aplicamos la condición correcta. Cuando una componente es cero, la condición es que la correspondiente del otro vector también lo sea. Acá se cumple.

3. Comparamos las componentes que sí se pueden dividir. 186=3\dfrac{18}{6} = 3 y 124=3\dfrac{12}{4} = 3. Coinciden.

4. Concluimos. Existe k=3k = 3 con v=k uv = k\,u, así que los vectores son paralelos.

Respuesta: son paralelos, con v=3uv = 3u

Integradores de Vectores, rectas y planos: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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