Método

Ejercicios: Producto escalar

u⋅v=u1v1+u2v2+u3v3u \cdot v = u_{1}v_{1} + u_{2}v_{2} + u_{3}v_{3}

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Calculá u⋅vu \cdot v con u=(5;−7;−5)u = (5; -7; -5) y v=(9;9;−4)v = (9; 9; -4), y clasificá el ángulo que forman.

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1. Aplicamos la fórmula. El producto escalar multiplica componente a componente y suma todos los productos.

2. Hacemos los tres productos. 5⋅9=455 \cdot 9 = 45, (−7)⋅9=−63(-7) \cdot 9 = -63, (−5)⋅(−4)=20(-5) \cdot (-4) = 20

3. Sumamos. u⋅v=45−63+20=2u \cdot v = 45 - 63 + 20 = 2

4. Leemos el signo. El resultado es positivo, así que el ángulo es agudo.

5. Controlamos. El producto escalar devuelve un número, no un vector.

Respuesta: u⋅v=2u \cdot v = 2, y el ángulo es agudo

2. Hallá el valor de mm para que u=(−9;−7;1)u = (-9; -7; 1) y v=(2;−9;m)v = (2; -9; m) sean perpendiculares.

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1. Recordamos la condición. Dos vectores son perpendiculares exactamente cuando su producto escalar da cero.

2. Planteamos el producto escalar. u⋅v=(−9)⋅2+(−7)⋅(−9)+1⋅m=45+mu \cdot v = (-9) \cdot 2 + (-7) \cdot (-9) + 1 \cdot m = 45 + m

3. Igualamos a cero y despejamos. 45+m=0⇒m=−4545 + m = 0 \Rightarrow m = -45

4. Verificamos. Con ese valor el producto escalar da 45+1⋅(−45)=045 + 1 \cdot (-45) = 0.

Respuesta: m=−45m = -45

3. Verificá que u⋅u=∣u∣2u \cdot u = |u|^2 para u=(5;−3;5)u = (5; -3; 5).

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1. Calculamos el producto escalar del vector consigo mismo. u⋅u=5⋅5+(−3)⋅(−3)+5⋅5=59u \cdot u = 5 \cdot 5 + (-3) \cdot (-3) + 5 \cdot 5 = 59

2. Calculamos el módulo. ∣u∣=59|u| = \sqrt{59}

3. Elevamos el módulo al cuadrado. ∣u∣2=(59)2=59|u|^2 = \left(\sqrt{59}\right)^2 = 59

4. Comparamos. Los dos dan 5959. Tiene sentido: al hacer el producto de un vector consigo mismo cada término queda elevado al cuadrado, que es justo lo que hay dentro de la raíz del módulo.

Respuesta: los dos valen 5959, así que u⋅u=∣u∣2u \cdot u = |u|^2

4. Verificá la propiedad distributiva u⋅(v+w)=u⋅v+u⋅wu \cdot (v + w) = u \cdot v + u \cdot w con u=(5;1;−6)u = (5; 1; -6), v=(−3;5;−2)v = (-3; 5; -2) y w=(−2;6;−2)w = (-2; 6; -2).

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1. Calculamos primero el lado izquierdo. v+w=(−5;11;−4)v + w = (-5; 11; -4), y entonces u⋅(v+w)=10u \cdot (v+w) = 10.

2. Calculamos el lado derecho, término a término. u⋅v=2u \cdot v = 2 y u⋅w=8u \cdot w = 8.

3. Sumamos. u⋅v+u⋅w=2+8=10u \cdot v + u \cdot w = 2 + 8 = 10

4. Comparamos. Los dos lados dan 1010, así que la propiedad se cumple. Por eso se puede operar con el producto escalar casi como con un producto común.

Respuesta: los dos lados valen 1010

5. Calculá u⋅vu \cdot v con u=(8;1;−7)u = (8; 1; -7) y v=(7;9;3)v = (7; 9; 3), y clasificá el ángulo que forman.

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1. Aplicamos la fórmula. El producto escalar multiplica componente a componente y suma todos los productos.

2. Hacemos los tres productos. 8⋅7=568 \cdot 7 = 56, 1⋅9=91 \cdot 9 = 9, (−7)⋅3=−21(-7) \cdot 3 = -21

3. Sumamos. u⋅v=56+9−21=44u \cdot v = 56 + 9 - 21 = 44

4. Leemos el signo. El resultado es positivo, así que el ángulo es agudo.

5. Controlamos. El producto escalar devuelve un número, no un vector.

Respuesta: u⋅v=44u \cdot v = 44, y el ángulo es agudo

6. Hallá el valor de mm para que u=(1;1;−2)u = (1; 1; -2) y v=(8;−4;m)v = (8; -4; m) sean perpendiculares.

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1. Recordamos la condición. Dos vectores son perpendiculares exactamente cuando su producto escalar da cero.

2. Planteamos el producto escalar. u⋅v=1⋅8+1⋅(−4)+(−2)⋅m=4−2mu \cdot v = 1 \cdot 8 + 1 \cdot (-4) + (-2) \cdot m = 4 - 2m

3. Igualamos a cero y despejamos. 4−2m=0⇒m=24 - 2m = 0 \Rightarrow m = 2

4. Verificamos. Con ese valor el producto escalar da 4+(−2)⋅2=04 + (-2) \cdot 2 = 0.

Respuesta: m=2m = 2

7. Verificá que u⋅u=∣u∣2u \cdot u = |u|^2 para u=(−7;5;−2)u = (-7; 5; -2).

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1. Calculamos el producto escalar del vector consigo mismo. u⋅u=(−7)⋅(−7)+5⋅5+(−2)⋅(−2)=78u \cdot u = (-7) \cdot (-7) + 5 \cdot 5 + (-2) \cdot (-2) = 78

2. Calculamos el módulo. ∣u∣=78|u| = \sqrt{78}

3. Elevamos el módulo al cuadrado. ∣u∣2=(78)2=78|u|^2 = \left(\sqrt{78}\right)^2 = 78

4. Comparamos. Los dos dan 7878. Tiene sentido: al hacer el producto de un vector consigo mismo cada término queda elevado al cuadrado, que es justo lo que hay dentro de la raíz del módulo.

Respuesta: los dos valen 7878, así que u⋅u=∣u∣2u \cdot u = |u|^2

8. Verificá la propiedad distributiva u⋅(v+w)=u⋅v+u⋅wu \cdot (v + w) = u \cdot v + u \cdot w con u=(−3;6;−9)u = (-3; 6; -9), v=(−8;−7;−1)v = (-8; -7; -1) y w=(8;6;4)w = (8; 6; 4).

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1. Calculamos primero el lado izquierdo. v+w=(0;−1;3)v + w = (0; -1; 3), y entonces u⋅(v+w)=−33u \cdot (v+w) = -33.

2. Calculamos el lado derecho, término a término. u⋅v=−9u \cdot v = -9 y u⋅w=−24u \cdot w = -24.

3. Sumamos. u⋅v+u⋅w=−9−24=−33u \cdot v + u \cdot w = -9 - 24 = -33

4. Comparamos. Los dos lados dan −33-33, así que la propiedad se cumple. Por eso se puede operar con el producto escalar casi como con un producto común.

Respuesta: los dos lados valen −33-33

9. Calculá u⋅vu \cdot v con u=(−4;9;−3)u = (-4; 9; -3) y v=(−2;−2;1)v = (-2; -2; 1), y clasificá el ángulo que forman.

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1. Aplicamos la fórmula. El producto escalar multiplica componente a componente y suma todos los productos.

2. Hacemos los tres productos. (−4)⋅(−2)=8(-4) \cdot (-2) = 8, 9⋅(−2)=−189 \cdot (-2) = -18, (−3)⋅1=−3(-3) \cdot 1 = -3

3. Sumamos. u⋅v=8−18−3=−13u \cdot v = 8 - 18 - 3 = -13

4. Leemos el signo. El resultado es negativo, así que el ángulo es obtuso.

5. Controlamos. El producto escalar devuelve un número, no un vector.

Respuesta: u⋅v=−13u \cdot v = -13, y el ángulo es obtuso

10. Hallá el valor de mm para que u=(8;2;1)u = (8; 2; 1) y v=(2;−9;m)v = (2; -9; m) sean perpendiculares.

Ver solución

1. Recordamos la condición. Dos vectores son perpendiculares exactamente cuando su producto escalar da cero.

2. Planteamos el producto escalar. u⋅v=8⋅2+2⋅(−9)+1⋅m=−2+mu \cdot v = 8 \cdot 2 + 2 \cdot (-9) + 1 \cdot m = -2 + m

3. Igualamos a cero y despejamos. −2+m=0⇒m=2-2 + m = 0 \Rightarrow m = 2

4. Verificamos. Con ese valor el producto escalar da −2+1⋅2=0-2 + 1 \cdot 2 = 0.

Respuesta: m=2m = 2

11. Verificá que u⋅u=∣u∣2u \cdot u = |u|^2 para u=(9;−7;1)u = (9; -7; 1).

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1. Calculamos el producto escalar del vector consigo mismo. u⋅u=9⋅9+(−7)⋅(−7)+1⋅1=131u \cdot u = 9 \cdot 9 + (-7) \cdot (-7) + 1 \cdot 1 = 131

2. Calculamos el módulo. ∣u∣=131|u| = \sqrt{131}

3. Elevamos el módulo al cuadrado. ∣u∣2=(131)2=131|u|^2 = \left(\sqrt{131}\right)^2 = 131

4. Comparamos. Los dos dan 131131. Tiene sentido: al hacer el producto de un vector consigo mismo cada término queda elevado al cuadrado, que es justo lo que hay dentro de la raíz del módulo.

Respuesta: los dos valen 131131, así que u⋅u=∣u∣2u \cdot u = |u|^2

12. Verificá la propiedad distributiva u⋅(v+w)=u⋅v+u⋅wu \cdot (v + w) = u \cdot v + u \cdot w con u=(7;2;−4)u = (7; 2; -4), v=(2;−2;9)v = (2; -2; 9) y w=(−1;1;7)w = (-1; 1; 7).

Ver solución

1. Calculamos primero el lado izquierdo. v+w=(1;−1;16)v + w = (1; -1; 16), y entonces u⋅(v+w)=−59u \cdot (v+w) = -59.

2. Calculamos el lado derecho, término a término. u⋅v=−26u \cdot v = -26 y u⋅w=−33u \cdot w = -33.

3. Sumamos. u⋅v+u⋅w=−26−33=−59u \cdot v + u \cdot w = -26 - 33 = -59

4. Comparamos. Los dos lados dan −59-59, así que la propiedad se cumple. Por eso se puede operar con el producto escalar casi como con un producto común.

Respuesta: los dos lados valen −59-59

Integradores de Vectores, rectas y planos: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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