Producto escalar

El producto escalar toma dos vectores y devuelve un número, no un vector. Se calcula multiplicando componente a componente y sumando todos los productos.

Hay una segunda fórmula que lo conecta con la geometría: el producto de los módulos por el coseno del ángulo entre los vectores. Igualar las dos formas es lo que permite calcular ángulos a partir de las componentes.

El signo del resultado da información inmediata. Si es positivo, el ángulo es agudo. Si es negativo, obtuso. Y si es cero, los vectores son perpendiculares.

Esa última es la propiedad más usada de todas: producto escalar nulo significa perpendicular, y al revés.

El producto escalar es conmutativo y distribuye sobre la suma, así que se puede operar con él casi como con un producto común. Y el producto escalar de un vector consigo mismo da su módulo al cuadrado, lo que da otra forma de calcular longitudes.

u \cdot v = u_{1}v_{1} + u_{2}v_{2} + u_{3}v_{3}

Cuándo se usa

Cuando hay que calcular un ángulo entre vectores, verificar perpendicularidad, o hallar un valor que haga perpendiculares a dos vectores. Producto escalar cero es la condición de perpendicularidad.

Ejemplo 1

Calcular $u \cdot v$ con $u = (4, 1)$ y $v = (2, 3)$ .

Multiplicamos las primeras componentes. $4 \cdot 2 = 8$ .
Multiplicamos las segundas. $1 \cdot 3 = 3$ .
Sumamos los dos productos. $8 + 3 = 11$ .
Leemos el signo. Es positivo, así que el ángulo entre $u$ y $v$ es agudo, menor que $90^{\circ}$ .
Respuesta: $u \cdot v = 11$

Ejemplo 2

Calcular $u \cdot v$ con $u = (2, -1, 3)$ y $v = (1, 4, 2)$ .

Ahora son tres productos, no dos. La fórmula se extiende con un término más, uno por cada componente.
Multiplicamos componente a componente. $2 \cdot 1 = 2$ , $(-1) \cdot 4 = -4$ y $3 \cdot 2 = 6$ .
Sumamos los tres. $2 - 4 + 6 = 4$ .
Leemos el resultado. Da positivo, así que el ángulo es agudo. Y da un número, aunque los vectores tengan tres componentes.
Respuesta: $u \cdot v = 4$

Error típico

Escribir el resultado como si fuera un vector, con paréntesis y dos números. El producto escalar devuelve un número solo. El que devuelve un vector es el producto vectorial, que aparece en el subtema $9 y$ solo existe en el espacio.

Practicar

← Vectores paralelos y puntos alineados Ángulo entre vectores y ortogonalidad →

Otros subtemas de Vectores, rectas y planos

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .