Ángulos entre rectas y planos

Hallar el ángulo entre la recta de director $d = (1, 2, 2)$ y el plano $z = 0$.

Leemos la normal del plano. El plano $z = 0$ se puede escribir $0xy + z = 0$, así que $n = (0, 0, 1)$.
Calculamos el producto escalar. $(1, 2, 2) \cdot (0, 0, 1) = 2$.
Calculamos los dos módulos. $|d| = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3$ y $|n| = 1$.
Armamos el seno. $\operatorname{sen} \theta = |2| / (3 \cdot 1) = 2/3$.
Despejamos el ángulo. $\theta = \operatorname{arc\,sen} (2/3) \approx 41{,}8^{\circ}$. Es el ángulo entre la recta y el piso, que es lo que se pedía.
Respuesta: $\theta \approx 41{,}8^{\circ}$

Hallar el ángulo entre los planos $x + y = 1$ y $x = 3$.

Leemos las dos normales. $n_{1} = (1, 1, 0)$ y $n_{2} = (1, 0, 0)$.
Entre planos va coseno. Los dos vectores son perpendiculares a sus planos, así que el ángulo entre las normales es el mismo que entre los planos.
Calculamos el producto escalar. $1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \cdot 0 = 1$.
Calculamos los módulos. $|n_{1}| = \sqrt{2}$ y $|n_{2}| = 1$.
Armamos el coseno y despejamos. $\cos \theta = 1 / \sqrt{2} = \sqrt{2}/2$, así que $\theta = 45^{\circ}$.
Respuesta: $\theta = 45^{\circ}$